Д. ПОЙА

 

Математика

и правдоподобные рассуждения

 

Перевод с английского И. А. ВАЙНШТЕЙНА

 

Под редакцией С. А. ЯНОВСКОЙ

 

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

 

 

 

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

Москва 1975

 

Данная книга обращена прежде всего к тем, кто изучает математику, — начиная от учащихся старших классов и студентов и кончая специалистами в различных областях, которым приходится встречаться с применением математических методов исследования. Читатель узнает, какими путями добываются новые факты в математике, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе — одним словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества. (Автор особенно подчеркивает общность путей открытия истин для всех естественных наук.) Благодаря этому книга является также незаменимым пособием для преподавателей математики всех ступеней. Увлекательность изложения, обилие исторических иллюстраций, а также предпринятая автором попытка построения теории правдоподобных (индуктивных) умозаключений делают книгу интересной и для профессионала-математика.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие редактора перевода  9

Предисловие 14

Советы читателю     21

 

Том I

ИНДУКЦИЯ И АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

 

Глава I. Индукция     25

1. Опыт и представление    25

2. Наводящие контакты       26

3. Подкрепляющие контакты          28

4. Индуктивный подход      30

Примеры и примечания к главе I   31

[12. Да и нет. 13. Опыт и поведение. 14. Логик, математик, физик и инженер.]

 

Глава II. Обобщение, специализация, аналогия  34

1. Обобщение, специализация, аналогия и индукция     34

2. Обобщение            34

3. Специализация     35

4. Аналогия   35

5. Обобщение, специализация и аналогия           37

6. Открытие по аналогии    39

7. Аналогия и индукция      43

Примеры и примечания к главе II  45

Первая часть             45

[1. Правильное обобщение. 5. Крайний частный случай. 7. Ведущий частный случай. 10. Частный случай-представитель. 11. Аналогичный случай. I8. Великие аналогии. 19 Выясненные аналогии. 20. Цитаты.]

Вторая часть  51

[21. Предположение Э. 44. Возражение и первый шаг к доказательству. 45. Второй шаг к доказательству. 46. Опасности аналогии.]

 

Глава III. Индукция в пространственной геометрии      56

1. Многогранники    56

2. Первые подкрепляющие контакты        58

3. Еще подкрепляющие контакты   59

4. Суровое испытание         60

5. Подтверждения и подтверждения         62

6. Совсем не похожий случай        63

7. Аналогия   63

8. Разбиение пространства 65

9. Видоизменение задачи    66

10. Обобщение, специализация, аналогия            66

11. Одна аналогичная задача          67

4[1]

12. Серия аналогичных задач         68

13. Много задач иногда легче решить, чем только одну 69

14. Предположение  69

15. Предсказание и подтверждение           70

16. Снова и лучше    71

17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство         72

18. Еще предположения      73

Примеры и примечания к главе III            74

[21. Индукция: приспособление ума, приспособление языка. 31. Работа Декарта о многогранниках. 36. Дополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники.]

 

Глава IV. Индукция в теории чисел           80

1. Целочисленные прямоугольные треугольники            80

2. Суммы квадратов 83

3. О сумме четырех нечетных квадратов  84

4. Исследование примера    85

5. Составление таблицы наблюдений      86

6. Каково правило?  86

7. Природа индуктивного открытия          89

8. О природе индуктивных доводов          90

Примеры и примечания к главе IV            92

[1. Обозначения. 26. Опасности индукции.]

 

Глава V. Разные примеры индукции         97

1. Разложения           97

2. Приближения       99

3. Пределы     101

4. Попытка опровергнуть    101

5. Попытка доказать 103

6. Роль индуктивной фазы  105

Примеры и примечания к главе V 106

[15. Объясните наблюдаемые закономерности. 16. Классифицируйте наблюдаемые факты. 18. В чем различие?]

 

Глава VI. Одно более общее утверждение            111

1. Эйлер         111

2. Мемуар Эйлера     111

3. Переход к более общей точке зрения     120

4. Схематический очерк мемуара Эйлера 121

Примеры и примечания к главе VI            122

[1. Производящие функции. 7. Одна комбинаторная задача плоской геометрии. 10. Суммы квадратов. 19. Другая рекуррентная формула. 20. Другой Наиболее Необычайный Закон Чисел, Относящийся к Суммам их Делителей. 24. Как Эйлер упустил открытие. 25. Обобщение теоремы Эйлера о σ(n)]

 

Глава VII. Математическая индукция        128

1. Индуктивная фаза 128

2. Фаза доказательства         130

3. Исследование переходов 130

4. Техника математической индукции       132

Примеры и примечания к главе VII           137

[12. Доказать больше иногда легче. 14. Уравновесьте вашу теорему! 15. Перспектива. 17. Равны ли любые n чисел!]

5

Глава VIII. Максимумы и минимумы        141

1. Схемы        141

2. Пример      142

3. Схема касательной линии уровня          144

4. Примеры    146

5. Схема частного изменения         148

6. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и ее первые следствия  150

Примеры и примечания к главе VIII         152

Первая часть  152

[1. Наименьшие и наибольшие расстояния в плоской геометрии. 2. Наименьшие и наибольшие расстояния в пространственной геометрии. 3. Линии уровня на плоскости. 4. Поверхности уровня в пространстве. 11. Принцип пересекающей линии уровня. 22. Принцип частного изменения. 23. Существование экстремума. 24. Видоизменение схемы частного изменения: бесконечный процесс. 25. Другое видоизменение схемы частного изменения: конечный процесс. 26. Графическое сравнение.]

Вторая часть  157

[33. Многоугольники и многогранники. Площадь и периметр. Объем и поверхность. 34. Прямая призма с квадратным основанием. 35. Прямой цилиндр. 36. Произвольная прямая призма. 37. Прямая. двойная пирамида с квадратным основанием. 38. Прямой двойной конус. 39. Произвольная прямая двойная пирамида. 43. Приложение геометрии к алгебре. 45. Приложение алгебры к геометрии. 51. Прямая пирамида с квадратным основанием. 52. Прямой конус. 53. Произвольная прямая пирамида. 55. Ящик без крышки. 56. Корыто. 57. Обломок. 62. Почтовая задача. 63. Задача Кеплера.]

 

Глава IX. Физическая математика  161

1. Оптическая интерпретация        161

2. Механическая интерпретация    165

3. Новая интерпретация      167

4. Открытие брахистохроны Иоганном Бернулли           171

5. Открытие Архимедом интегрального исчисления      173

Примеры и примечания к главе IX            177

[3. Треугольник с минимальным периметром, вписанный в данный треугольник. 9. Транспортный центр четырех точек в пространстве. 10. Транспортный центр четырех точек на плоскости. 11. Транспортная сеть для четырех точек. 12. Разверните и выпрямите. 13. Бильярд. 14. Геофизическое исследование. 23. Кратчайшие линии на многогранной поверхности. 24. Кратчайшие (геодезические) линии на кривой поверхности. 26. Построение посредством сгибания бумаги. 27. Бросается кость. 28. Всемирный потоп. 29. Не слишком глубоко. 30. Полезный крайний случай. 32. Вариационное исчисление. 33. От равновесия поперечных сечений к равновесию тел. 38. Ретроспективный взгляд на Метод Архимеда.]

 

Глава X. Изопериметрическая задача        185

1. Индуктивные доводы Декарта   185

2. Скрытые доводы  186

3. Физические доводы         187

4. Индуктивные доводы лорда Рэлея        187

5. Выведение следствий      188

6. Подтверждение следствий         191

7. Очень близко        195

8. Три формы изопериметрической теоремы       196

9. Приложения и вопросы  198

Примеры и примечания к главе Х 199

Первая часть  199

6

[1. Взгляд назад. 1. Могли бы вы вывести какую-либо часть этого результата иначе? 3. Заново с большими подробностями. 7. Можете ли вы воспользоваться этим методом для решения какой-нибудь другой задачи? 8. Более сильная форма изопериметрической теоремы.]

Вторая часть. 200

[16. Палка и веревка. 21. Две палки и две веревки. 25. Задача Дидоны в пространственной геометрии. 27. Биссекторы плоской области. 34. Биссекторы замкнутой поверхности. 40. Фигура многих совершенств. 41. Аналогичный случай 42. Правильные многогранники. 43. Индуктивные доводы.]

 

Глава XI. Другие виды правдоподобных доводов           206

1. Предположения и предположения        206

2. Суждение по родственному случаю      206

3. Суждение по общему случаю     208

4. Более простое предположение предпочтительнее      210

5. Фон            212

6. Неисчерпаем         215

7. Обычные эвристические допущения    216

Примеры и примечания к главе XI            217

[16. Общий случай. 19. Никакая идея не является действительно плохой. 20. Несколько обычных эвристических допущений. 21. Вознагражденный оптимизм. 23. Числовые выкладки и инженер.]

Заключительное замечание к первому тому         224

 

Том II

СХЕМЫ ПРАВДОПОДОБНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

 

Предисловие ко II тому       227

 

Глава XII. Несколько бросающихся в глаза схем  229

1. Подтверждение следствия          229

2. Последовательное подтверждение нескольких следствий     231

3. Подтверждение невероятного следствия         233

4. Умозаключение по аналогии      236

5. Углубление аналогии      237

6. Затушеванное умозаключение по аналогии     239

Примеры и примечания к главе XII           240

[14. Индуктивное умозаключение по бесплодным усилиям.]

 

Глава XIII. Дальнейшие схемы и первые связи между схемами            244

1. Исследование следствия 244

2. Исследование возможного основания  245

3. Исследование противоречащего предположения       246

4. Логические термины       246

5. Логические связи между схемами правдоподобных умозаключений           250

6. Затушеванное умозаключение    251

7. Таблица     253

8. Комбинация простых схем         253

9. Об умозаключении по аналогии            254

10. Уточненное умозаключение     255

11. О последовательных подтверждениях                       258

12. О соперничающих предположениях   258

13. О судебном доказательстве       260

Примеры и примечания к главе XIII         266

Первая часть  266

7

[9. Об индуктивном исследовании в математике и в физических науках. 10. Пробные общие формулировки.]

Вторая часть  271

[11. Более личное, более сложное. 12. Существует прямая, соединяющая две данные точки. 13. Существует прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Проведение параллели. 14. Наиболее очевидный случай может оказаться единственным возможным случаем. 15. Установление моды. Сила слов. 16. Это слишком невероятно, чтобы быть всего лишь совпадением. 17. Совершенствование аналогии. 18. Новое предположение. 19. Еще одпо новое предположение. 20. Что типично?]

 

Глава XIV. Случай. Неизменное соперничающее предположение       281

1. Случайные массовые явления    281

2. Понятие вероятности      283

3. Применение мешка и шаров       287

4. Исчисление вероятностей. Статистические гипотезы           290

5. Непосредственное предсказание частот           292

6. Объяснение явлений       298

7. Оценка статистических гипотез 301

8. Выбор между статистическими гипотезами     306

9. Оценка нестатистических предположений      313

10. Оценка математических предположений       326

Примеры и примечания к главе XIV         329

Первая часть  329

Вторая часть  330

[19. О понятии вероятности. 20. Как не следует истолковывать понятие вероятности, основанное на частоте. 24. Вероятность и решение задач. 25. Правильный и неправильный. 26. Фундаментальные правила исчисления вероятностей. 27. Независимость. 30. Перестановки и вероятность. 31. Сочетания и вероятность. 32. Выбор соперничающего статистического предположения. Пример. 33. Выбор соперничающего статистического предположения. Общие замечания.]

 

Глава XV. Исчисление вероятностей и логика правдоподобных рассуждений          338

1. Правила правдоподобных рассуждений           338

2. Один аспект доказательного рассуждения       341

3. Соответствующий аспект правдоподобного рассуждения     342

4. Один аспект исчисления вероятностей. Трудности    346

5. Один аспект исчисления вероятностей. Попытка       348

6. Исследование следствия 349

7. Исследование возможного основания  353

8. Исследование противоречащего предположения       354

9. Исследование одного за другим нескольких следствий         355

10. О косвенных уликах       358

Примеры и примечания к главе XV          359

[4. Вероятность и правдоподобность. 5. Правдоподобие и правдоподобность. 6. Попытка Лапласа связать индукцию с вероятностью. 7. Почему не количественно? 8. Бесконечно малые правдоподобности? 9. Правила допустимости.]

 

Глава XVI. Правдоподобные рассуждения в изобретении и обучении            371

1. Предмет настоящей главы          371

2. Рассказ о маленьком открытии   371

3. Процесс решения  374

4. Deus ex machina      375

5. Эвристическое оправдание        377

6. Рассказ о другом открытии         378

8

7. Несколько типичных указаний   382

8. Индукция в изобретении 383

9. Несколько слов преподавателю 388

Примеры и примечания к главе XVI         391

[1. Преподавателю: некоторые типы задач. 7. Qui himium probat, nihil probat. 8. Близость и правдоподобность. 9. Вычисления и правдоподобные рассуждения. 13. Формальное доказательство и правдоподобные рассуждения.]

 

Решения         398

Глава I (398). Глава II (399). Глава III (405). Глава IV (410). Глава V (414). Глава VI (417). Глава VII (420). Глава VIII (423). Глава IX (434). Глава X (440). Глава XI (446). Глава XII (450). Глава XIII (452). Глава XIV (455). Глава XV (460). Глава XVI (461)

 

Библиография           463

 

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

 

В применении к такой строгой науке, как математика, имеют ли смысл индукция (конечно, неполная), аналогия, наблюдение, гипотеза, эксперимент, короче говоря, методы, которыми пользуется каждый естествоиспытатель?

Ответу на этот вопрос посвящена книга известного математика и замечательного педагога Д. Пойа.

Советскому читателю, интересующемуся математикой, автор хорошо известен по книге Г. Полиа[2] и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа, ч. I и II, второе издание которой вышло у нас в 1956 г. Уже в этой книге авторы ставили перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи. Впоследствии Пойа написал на ту же тему популярную книжку «Как это решить?»[], рассчитанную на учителей математики и учащихся. Настоящая книга, изданная в двух томах в Принстоне (США) в 1954 г., представляет собою итог многолетней работы автора, научной и педагогической, над вопросами о путях математического творчества.

Исследование такого рода естественно отличается от обычных математических работ. Оно основано на наблюдении и обобщении, на попытках проникнуть в творческую лабораторию великих математиков, придумать и поставить подходящий эксперимент. Иными словами, методы исследования здесь, собственно, те же, что и вообще в естествознании. И самое замечательное, что в своем математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает естествоиспытатель. больше

10

того, автор считает даже, что индуктивные, т. е. основанные на вышеперечисленных методах[], рассуждения легче изучать в области математики, чем в какой-либо другой области.

В соответствии с такой установкой автора первая часть книги содержит большое число примеров разных степеней трудности (начиная от самых элементарных), обучающих пользованию индукцией и аналогией в математике. Многие из них заимствованы непосредственно из творчества великих математиков, особенно из трудов Леонарда Эйлера, 250-летие со дня рождения которого отмечалось в текущем году[]. Обращение к трудам Эйлера звучит при этом особенно убедительно, поскольку Эйлер не только с непревзойденным до сих пор успехом пользовался индуктивными методами в математике, но и откровенно сообщал читателю пути, которыми шел в своем математическом творчестве.

Вторая часть книги содержит попытку сформулировать правила индуктивного («правдоподобного») рассуждения наподобие логических правил вывода. К каждому из этих правил автор приходит, начиная с конкретных примеров, заимствованных из математики, физики, астрономии, из судебной практики и даже из медицины. Для теоретического обоснования этих правил Пойа привлекает теорию вероятностей, просто и популярно излагая в этой связи нужный ему материал из этой области. Если первая часть книги представляет особый интерес именно в связи с математикой, то вторая относится преимущественно к вопросам индуктивной логики и ее применений в любых областях науки и жизни. книга написана так, что даже в тех случаях, когда автор предполагает знакомство с математикой, читатель, не обладающий специальными математическими знаниями, тем не менее легко может уследить за основной мыслью автора. Ее могут поэтому с успехом читать люди самых разнообразных специальностей. К тому же вторую часть можно читать совершенно независимо от первой. Но читатель, который начнет со второй части и затем обратится к первой, увидит, сколь интересный материал содержится именно в первой части.

Я позволю себе сделать здесь несколько замечаний по поводу методологических установок автора. Попыткам использовать теорию веро-

11

ятностей для обоснования индуктивной логики, истолковав вероятность как степень правдоподобности (или вводя термин вероятность в различных смыслах: «вероятность-один» как степень правдоподобности и «вероятность-два», основанную на понятии частоты, см. R. Carnap, Logical Foundations of Chicago, 1950), посвящена в настоящее время большая литература. В книге Пойа мы не найдем строгого обоснования выдвигаемой им теории. Но ряд моментов в ней звучит весьма убедительно для читателя-материалиста. Автор озабочен прежде всего не субъективной, но объективной оценкой степени правдоподобности того или иного аргумента. Он подчеркивает, что хотя к правдоподобностям применимы некоторые правила, заимствованные из теории вероятностей, правдоподобности нельзя все же рассматривать как числа. Достоверно истинное высказывание имеет, правда, максимальную правдоподобность (которую можно назвать «единицей», а достоверно ложное — минимальную, «нуль»), но тем не менее могут существовать и несравнимые (по силе доводов) правдоподобности (в качестве таковых автор приводит, например, правдоподобности а) теоремы Гольдбаха о сумме двух нечетных простых чисел и б) утверждение, что викинги высадились на американском материке за несколько сот лет до Колумба). правдоподобности[] образуют, таким образом, лишь частично упорядоченное множество, почему их и нельзя оценивать числами, множество которых линейно упорядочено[]). (В соответствии с этим отличием правдоподобности от вероятности автор — к сожалению, весьма неопределенно — говорит о различии «качественной» и «количественной» теории вероятностей.) Отметим наконец, что статистические закономерности, основанные на обычном понятии вероятности (как «частоты дальнего действия»), Пойа отнюдь не противополагает — в качестве единственно

12

приемлемых — причинным закономерностям (как это часто делается в философской идеалистической литературе), а наоборот, учит употреблять статистические методы для  обоснования причинных («физических») закономерностей — для исключения возможности случайного совпадения.

Но манера автора трактовать «качественную» теорию вероятностей — пусть хотя бы лишь из побуждений сделать изложение доступным для читателя, не знакомого с понятием частично упорядоченного множества, — звучит уже отнюдь не материалистически. Так, на стр. 348 автор начинает с того, что констатирует невозможность приписать P {A} — правдоподобности утверждения A в глазах м-ра Кто-нибудь — определенное числовое значение, после чего предлагает тем не менее рассматривать P {A} как определенную дробь

 

0 < P {A} < 1,

 

числового значения который мы, однако, не знаем (и знать не можем!). Именно это незнание конкретного числового значения и должно здесь отличать у автора «качественный» подход к теории вероятностей от «количественного», между тем как рассмотрение P {A} как «определенной положительной дроби» должно помочь распространить на правдоподобности нужные автору законы и правила теории вероятностей. В дальнейшем (см. особенно разделы: «7. Почему не количественно?» и «8. Бесконечно малые правдоподобности?» примечаний к главе XV) автор вносит, правда, необходимые уточнения. Однако зачем, хотя бы на время, создавать у читателя впечатление, будто допускается существование каких-то вещей в себе (определенных числовых оценок правдоподобности), принципиально непознаваемых? Ведь из дальнейшего ясно, что автор отнюдь не считает P {A} числом!

Аналогичные замечания можно было бы сделать и в применении к некоторым другим местам книги. Иногда оговаривая их в примечаниях редактора, мы, однако, не ставили перед собой задачи оговорить все места, по поводу которых редактору хотелось бы высказать какие-либо критические замечания.

В отличие от большинства математических книг, книгу Пойа можно читать как увлекательную беллетристику. Но над ней можно и серьезно работать. Указания о том, как работать над этой книгой, читатель найдет в предисловии автора и в его советах читателю.

13

На этот счет мне хотелось бы только заметить следующее. Во второй части каждой главы автор предлагает задачи и темы для самостоятельной работы читателя — от самых легких до очень трудных. При первом чтении, конечно, можно не решать полностью задач, предлагаемых автором, но чтобы правильно понять его мысль, изложенную в первой части главы, необходимо обычно уже при первом чтении возможно внимательнее просмотреть и материал, помещенный во второй ее части (а при более внимательном чтении необходимо ознакомиться и с предлагаемыми автором решениями). Вопреки некоторым рекомендациям автора, повторяю, что и читатель малознакомый с математикой может начинать чтение со второго тома книги (посвященного логике правдоподобных умозаключений и теории вероятностей), принимая на веру вещи, предполагающие более специальные математические знания.

Над вопросом, возможна ли теория, предметом которой являются не математические доказательства, а способы догадываться о таких доказательствах, открывать математические истины и решать математические задачи, люди бьются еще со времен античной древности. Вопросы этого рода не могут не интересовать каждого преподавателя математики или обучающегося ей. Будем же надеяться, что книга Пойа будет полезна и доставит удовольствие широкому кругу советских читателей.

С. А. Яновская

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Эта книга имеет различные тесно связанные между собой цели. В первую очередь она предназначена для того, чтобы помочь учащимся и преподавателям математики в одном важном вопросе, которому обычно не уделяют должного внимания. Однако в известном смысле она представляет и философский этюд. Она является также продолжением и требует продолжения. Я последовательно коснусь этих ее особенностей.

1. Строго говоря, все наши знания за пределами математики и доказательной логики (которая фактически является ветвью математики) состоят из предположений[]. Конечно, существуют предположения и предположения. Есть в высшей степени достойные и надежные предположения, например, те, которые выражены в некоторых общих законах физики. Бывают другие предположения, не являющиеся ни надежными, ни достойными, и некоторые из них способны привести вас в ярость, когда вы прочитаете их в газете. И между теми и другими существуют всякого рода предположения, предчувствия и догадки.

Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, а индуктивные доводы физика, косвенные улики юриста, документальные доводы историка и статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям.

Различие между этими двумя типами рассуждений велико и многообразно. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно и условно.

15

Доказательные рассуждения пронизывают науки как раз в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама по себе математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рассуждений, которым мы интересуемся в повседневных делах. Доказательное рассуждение имеет жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой (формальной, или доказательной логикой), являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи, и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы по ясности сравниться с доказательной логикой или обладала бы сравнимой с ней согласованностью.

2. Заслуживает нашего внимания другой момент, касающийся этих двух типов рассуждений. Всякий знает, что математика предоставляет прекрасную возможность научиться доказательным рассуждениям, но я утверждаю также, что в обычных учебных планах учебных заведений нет предмета, который давал бы сравнимую возможность научиться правдоподобным рассуждениям. Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в овладении ею, и говорю: «Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться».

Это звучит немного парадоксально, и я должен подчеркнуть несколько обстоятельств, чтобы избежать возможных недоразумений.

Математика рассматривается как доказательная наука. Однако это только одна из ее сторон. Законченная математика, изложенная в законченной форме, выглядит как чисто доказательная, состоящая только из доказательств. Но математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведете его в деталях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика — доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Если обучение математике в какой-то степени отражает то, как создается математика, то в нем должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения.

Как мы сказали, существует два типа рассуждений: доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение. Замечу, что они не противоречат друг другу; напротив, они друг друга дополняют. В строгом рассуждении главное — отличать доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки. В правдоподобном рассуждении главное — отличать одну догадку от другой, более разумную догадку от менее разумной. Если вы вдумаетесь в это отличие, то оба типа рассуждений могут стать более ясными.

16

Серьезный человек, изучающий математику, намеревающийся сделать математику делом своей жизни, должен учиться доказательным рассуждениям; это его профессия и отличительный признак его науки. Однако для настоящего успеха он должен учиться и правдоподобным рассуждениям; это тот тип рассуждений, от которого будет зависеть его творческая работа. Человек, занимающийся математикой как вспомогательным предметом или как любитель, также должен получить некоторое знакомство с доказательными рассуждениями; может быть, у него не будет особой надобности непосредственно их применять, но он должен овладеть стандартом, с которым он мог бы сравнивать всевозможные выдвигаемые в качестве доказательств доводы, встречающиеся ему в современной жизни. Но во всех его начинаниях ему будут нужны правдоподобные рассуждения. Во всяком случае, человеку, изучающему математику и желающему проявить себя в этой области, какими бы ни оказались его дальнейшие интересы, следует попытаться научиться обоим типам рассуждений, доказательному и правдоподобному.

3. Я не верю, что существует абсолютно гарантированный метод, позволяющий научить догадываться. Во всяком случае, если такой метод и существует, то мне он не известен, и уж, конечно, я не претендую на то, чтобы изложить его на последующих страницах. Действенное применение правдоподобных рассуждений есть практический навык, и ему, как и всякому другому практическому навыку, учатся путем подражания и практики. Я попытаюсь сделать все от меня зависящее, чтобы помочь читателю, очень желающему научиться правдоподобным рассуждениям, но все, что я могу предложить, это только примеры для подражания и возможность попрактиковаться.

В этой книге я часто буду обсуждать математические открытия, большие и малые. Я не могу рассказать подлинную историю того, как происходило открытие, потому что этого в действительности никто не знает. Однако я попытаюсь придумать правдоподобную историю того, как открытие могло произойти. Я попытаюсь выявить мотивы, лежащие в основе открытия, правдоподобные умозаключения, которые к нему привели, короче, все, что заслуживает подражания. Конечно, я попытаюсь убедить читателя; это моя обязанность как преподавателя и как автора. Однако я буду с читателем совершенно честен в том, что действительно существенно: я буду стараться убедить его только в том, что мне представляется истинным и полезным.

За каждой главой следуют примеры и примечания. Примечания относятся к вопросам, слишком техническим или слишком тонким для текста главы, или к вопросам, лежащим несколько в стороне от главной линии рассуждения. Некоторые из упражнений дают читателю возможность заново рассмотреть детали, только намеченные в тексте. Однако большая часть упражнений дает возможность читателю вывести свои собственные правдоподобные заключения.

17

Перед тем как взяться за какую-нибудь более трудную задачу, предложенную в конце главы, читателю следует внимательно прочитать соответствующие части главы и, кроме того, бегло просмотреть соседние задачи; то или другое может содержать ключ. Чтобы обеспечить читателя такими ключами (или скрыть их от него) с наибольшей пользой для обучения, большое внимание было уделено не только содержанию и форме предлагаемых задач, но и их расположению. Фактически на расстановку этих задач ушло значительно больше времени и заботы, чем можно было бы себе представить или посчитать нужным, глядя со стороны.

Чтобы охватить широкий круг читателей, я пытался проиллюстрировать каждый важный вопрос как можно более элементарным примером. Однако в нескольких случаях я был вынужден взять не слишком элементарный пример, чтобы подкрепить утверждение достаточно убедительно. В действительности я чувствовал, что должен привести и примеры, имеющие исторический интерес, и примеры, обладающие настоящей математической красотой, и примеры, иллюстрирующие параллелизм методов в других науках или в повседневной жизни.

Следует добавить, что многие из приведенных рассказов получили свою окончательную форму в результате своего рода неформального психологического эксперимента. Я обсуждал предмет с несколькими различными студенческими группами, часто прерывая свое изложение вопросами вроде следующего: «Хорошо, а что бы вы сделали в такой ситуации?» Некоторые места, включенные в текст книги, были подсказаны ответами моих слушателей или моя первоначальная версия изменялась каким-нибудь другим образом под влиянием реакции моей аудитории.

Короче говоря, я пытался употребить весь свой опыт исследователя и преподавателя, чтобы дать читателю подходящую возможность для разумного подражания и для самостоятельной работы.

4. Примерами правдоподобных рассуждений, собранными в этой книге, можно воспользоваться и для другой цели: они могут пролить некоторый свет на философскую проблему, являющуюся предметом оживленных споров: проблему индукции. Вот главный вопрос: существуют ли для индукции правила? Некоторые философы говорят: «Да», — большинство ученых думает: «Нет». Чтобы обсудить этот вопрос с пользой, следует иначе его поставить. Кроме того, его следует толковать иначе, с меньшей зависимостью от традиционного буквоедства или от новомодного формализма, но в более тесном контакте с практикой ученых. Заметим прежде всего, что индуктивное рассуждение есть частный случай правдоподобного рассуждения. Заметим также (современные авторы почти забыли это, но некоторые старые, такие как Эйлер и Лаплас, ясно осознавали), что роль индуктивных доводов в математическом исследовании сходна с их ролью в физическом исследовании. После этого вы сумеете обнаружить, что некоторые сведения об индуктивных рассуждениях

18

возможно получить путем наблюдения и сравнения примеров правдоподобных рассуждений в математических вопросах. И таким образом открывается дверь для индуктивного исследования индукции.

Когда биолог пытается исследовать какую-нибудь общую проблему, скажем, генетики, ему очень важно выбрать какой-нибудь специальный вид растения или животного, вполне пригодный для экспериментального изучения его проблемы. Когда химик намеревается исследовать какую-нибудь общую проблему, касающуюся, скажем, скорости химических реакций, ему очень важно выбрать какие-нибудь специальные вещества, на которых было бы удобно проделать эксперименты, уместные в его проблеме. Выбор подходящего экспериментального материала чрезвычайно важен для индуктивного исследования любой проблемы. Мне кажется, что математика в некоторых отношениях является наиболее подходящим экспериментальным материалом для изучения индуктивных рассуждений. Это изучение вызывает необходимость некоторого рода психологических экспериментов: вы должны испытать на опыте, какое влияние на вашу веру в рассматриваемое предположение оказывают различные виды доводов. Благодаря своей неотъемлемой простоте и ясности, математические объекты подходят для этого рода психологического эксперимента гораздо лучше, чем объекты из любой другой области. На следующих страницах читатель будет иметь полную возможность в этом убедиться.

С точки зрения философии, я думаю, лучше рассматривать более общую идею правдоподобного рассуждения вместо частного случая индуктивного рассуждения. Мне кажется, что собранные в этой книге примеры постепенно подготавливают определенный и вполне удовлетворительный аспект правдоподобного рассуждения. Однако я не хочу навязывать свои взгляды читателю. Фактически я даже не формулирую их в первом томе; я хочу, чтобы примеры говорили сами за себя. Первые четыре главы второго тома посвящены более явному общему рассмотрению правдоподобных рассуждений. Здесь я формально устанавливаю схемы правдоподобных умозаключений, возникающие из приведенных примеров, пытаюсь систематизировать эти схемы и обозреть некоторые из их взаимных связей и их связей с идеей вероятности.

Я не знаю, заслуживает ли содержание этих четырех глав право называться философией. Если это философия, то это, несомненно, немудреный вид философии, больше имеющий дело с пониманием конкретных примеров и конкретного поведения людей, чем с толкованием общностей. Я еще меньше, конечно, знаю, какой окажется окончательная оценка моих взглядов. Однако я чувствую довольно сильную уверенность в том, что мои примеры могут быть полезны для любого разумного, непредубежденного человека, изучающего индукцию или правдоподобные рассуждения, который желает сформировать свои взгляды в тесном контакте с наблюдаемыми фактами.

19

5. Эта работа о Математике и Правдоподобных рассуждениях, которую я всегда рассматривал как целое, естественно распадается на две части: Индукция и Аналогия в Математике (том I) и Схемы Правдоподобных Умозаключений (том II). Для удобства изучающих они выпускаются отдельными томами[] Том I полностью независим от тома II, и я думаю, что многие учащиеся захотят его тщательно продумать перед тем, как читать том II. (В русском издании оба тома объединены в одной книге.) В нем — бо́льшая часть математического «мяса» этого сочинения, и он поставляет «данные» для индуктивного исследования индукции в томе II. Некоторые читатели, более умудренные и опытные в математике, захотят, быть может, непосредственно перейти к тому II, и для них будет удобно иметь его отдельно. Для облегчения ссылок нумерация глав в обоих томах сплошная. Я не снабдил книгу указателем, так как указатель заставил бы сделать терминологию более жесткой, чем это желательно в такого рода сочинении. Я уверен, что оглавление дает удовлетворительный путеводитель по книге.

Эта работа является продолжением моей более ранней книги How to Solve It[][3]. Читателю, интересующемуся предметом, следует прочитать обе книги, но порядок не имеет большого значения. Настоящий текст составлен так, что его можно читать независимо от предыдущей работы. Фактически в этой книге имеется лишь несколько прямых ссылок на прежнюю и при первом чтении на них можно не обращать внимания. Однако косвенные ссылки на предыдущую книгу имеются почти на каждой странице и почти в каждом предложении некоторых страниц. В сущности эта работа дает многочисленные упражнения и некоторые более серьезные иллюстрации к предыдущей, в которой ввиду ее размера и элементарного характера не было для них места.

Настоящая книга связана также со сборником задач по анализу, принадлежащим Г. Сеге и автору (см. библиографию). Задачи в этом сборнике тщательно сгруппированы в таком порядке, что они взаимно подкрепляют друг друга, дают ключи друг другу, в совокупности охватывают определенную тему и предоставляют читателю возможность попрактиковаться в различных ходах, важных в решении задач. В подходе к задачам настоящая книга следует методу изложения, начало которому было положено в упомянутом сборнике, и эта связь имеет не столь уж малое значение.

Две главы во втором томе настоящей книги имеют дело с теорией вероятностей. Первая из этих глав отчасти связана с элементарным изложением исчисления вероятностей, написанным автором несколько лет тому назад (см. библиографию). Лежащие в основании взгляды на вероятность и отправные пункты — те же самые, в остальном соприкосновения мало.

20

Некоторые из взглядов, изложенных в этой книге, были выражены ранее в моих статьях, указанных в библиографии. В текст книги были включены обширные выдержки из статей №№ 4, 6, 8, 9 и 10. Я приношу признательность и мою глубокую благодарность издателям American Mathematical Monthly, Etudes de Philosophie des Sciences en Hommage à Ferdinand Gonseth и Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950, которые любезно дали разрешение воспроизвести эти выдержки.

Многие части этой книги были изложены в моих лекциях, некоторые — несколько раз. В некоторых местах и в некоторых отношениях я сохранил тон устного изложения. Я не думаю, что такой тон вообще желателен при печатном изложении математики, но в настоящем случае это может быть подходящим или по крайней мере простительным.

6. Последняя глава второго тома настоящей книги, имеющая дело с Изобретением и Обучением, в более явной форме связывает содержание с прежней работой автора и указывает на возможное продолжение.

Действенное применение правдоподобных рассуждений играет существенную роль в решении задач. Настоящая книга пытается проиллюстрировать эту роль на многих примерах, но остаются другие стороны решения задач, нуждающиеся в подобной иллюстрации.

Многие вопросы, затронутые здесь, нуждаются в дальнейшей разработке. Мои взгляды на правдоподобные рассуждения следовало бы сопоставить со взглядами других авторов, исторические примеры следовало бы рассмотреть более тщательно, взгляды на изобретение и обучение следовало бы изучить, насколько это возможно, методами экспериментальной психологии[], и так далее. Остаются другие такого рода задачи, но некоторые из них могут оказаться неблагодарными.

Эта книга не учебник. Однако я надеюсь, что со временем она окажет влияние на обычное изложение в учебниках и выбор их круга вопросов. Задача заново написать обычные учебники, придерживаясь намеченного направления, не должна быть неблагодарной.

7. Я хочу выразить свою признательность издательству Принстонского университета за тщательное печатание и особенно г-ну Герберту С. Бэйли младшему, директору издательства, за сочувственную помощь в некоторых вопросах. Я весьма обязан также г-же Присилле Фейген за перепечатку рукописи на машинке и д-ру Юлиусу Г. Барону за его любезную помощь при чтении корректур.

Стэнфордский университет, май 1953 г.

Дьердь Пойа

СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ

 

Параграф 2 гл. VII в той же главе VII цитируется как § 2, но как § 7.2 в любой другой главе. Пункт (3) § 5 гл. XIV в той же главе XIV цитируется как § 5 (3), но как § 14.5 (3) в других главах. На пример 26 гл. XIV мы ссылаемся в той же главе, как на пример 26, но как на пример 14.26 в остальных главах.

Для чтения существенных частей текста может быть достаточно некоторого знания элементарной алгебры и геометрии. Почти для всего текста и большей части примеров и примечаний достаточно хорошего знания элементарной алгебры и геометрии и некоторого знания аналитической геометрии и математического анализа, включая пределы и бесконечные ряды. Однако в нескольких эпизодических замечаниях в тексте, в некоторых предлагаемых задачах и в отдельных примечаниях предполагаются более глубокие знания. Обычно в этих случаях делается какое-нибудь предупреждение.

Более подготовленный читатель, пропустивший те отделы, которые кажутся ему слишком элементарными, может потерять больше, чем менее подготовленный читатель, который пропустит отделы, показавшиеся ему слишком сложными.

Некоторые (не очень трудные) детали доказательств часто без предупреждения опускаются. Должным образом подготовленный к этой возможности читатель, обладающий хорошими критическими навыками, не должен от этого пострадать.

Некоторые из задач, предложенных для решения, очень легки, но некоторые довольно трудны. Наводящие соображения, которые могут облегчить решение, заключены в квадратные скобки [ ]. Правильный путь решения могут подсказывать соседние задачи. Особое внимание следует обратить на вводные замечания, предшествующие примерам в некоторых главах или же первой или второй части таких примеров.

Решения иногда очень кратки: они предполагают, что перед тем как просмотреть напечатанное решение, читатель предпринял серьезные попытки справиться с задачей собственными силами.

Читатель, затративший на задачу большие усилия, даже если ему и не удалось ее решить, может извлечь из этого пользу. Например, он может заглянуть в решение, попытаться выделить то, что ему кажется ключевой идеей, отложить книгу и затем попытаться разработать решение.

22

В некоторых местах эта книга изобилует чертежами или дает небольшие промежуточные шаги вывода. Цель этого — сделать наглядной эволюцию фигуры или формулы: см., например, рис. 16.1—16.5. Однако нет такой книги, которая содержала бы достаточно фигур или формул. Читатель может захотеть прочитать какое-нибудь место «в первом приближении» или более тщательно. Во втором случае, у него под рукой должны быть бумага и карандаш: он должен быть готов написать или начертить любую формулу или фигуру, приведенную или только упомянутую в тексте. Поступая таким образом, он получит лучшую возможность увидеть эволюцию фигуры или формулы, понять, как различные детали способствуют окончательному результату, и запомнить весь процесс в целом.

ИНДУКЦИЯ И АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Том I

I. ИНДУКЦИЯ

 

Покажется немало парадоксальным приписывать большое значение наблюдениям даже в той части математических наук, которая обычно называется чистой математикой, так как существует распространенное мнение, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, которые воздействуют на наши чувства. Поскольку мы должны относить числа к одному лишь чистому разуму, мы едва ли можем понять, как наблюдения и квазиэксперименты могут быть полезны в исследовании природы чисел. Однако в действительности, как я здесь покажу, приведя очень веские доводы, свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать; только наблюдения привели нас к их познанию. Отсюда мы видим, что в теории чисел, которая все еще очень несовершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения; они непрерывно будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобретается индукцией. Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открыли путем наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией. В действительности мы должны пользоваться таким открытием, как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть: в обоих случаях мы можем научиться кое-чему полезному. — Эйлер[]

 

1. Опыт и представление. Опыт вносит изменения в человеческие представления. Мы учимся, исходя из опыта, или, вернее, должны учиться, исходя из опыта. Наилучшим возможным образом воспользоваться опытом — одна из великих задач человека, а трудиться для ее решения — подлинное призвание ученых.

Ученый, заслуживающий этого имени, старается извлечь из данного опыта наиболее правильное представление и накопить наиболее подходящий опыт для того, чтобы установить правильное представление о данном вопросе. Метод, с помощью которого ученый имеет дело с опытом, обычно называется индукцией. Особенно ясные примеры метода индукции можно найти в математическом исследовании. В следующем параграфе мы приступаем к рассмотрению одного простого примера.

26

2. Наводящие контакты. Индукция часто начинается с наблюдения. Натуралист может наблюдать жизнь птиц, кристаллограф — формы кристаллов. Математик, интересующийся теорией чисел, наблюдает свойства чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...

Если вы хотите наблюдать жизнь птиц так, чтобы была некоторая возможность получить интересные результаты, то вы должны быть в какой-то степени знакомы с птицами, интересоваться птицами, вы должны даже, пожалуй, любить птиц. Точно так же, если вы хотите наблюдать числа, вы должны интересоваться ими и в какой-то степени быть знакомы с ними. Вы должны различать четные и нечетные числа, должны знать квадраты 1, 4, 9, 16, 25, ... и простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (лучше выделить 1 как «единицу» и не причислять ее к простым числам). Даже со столь скромными знаниями вы смогли бы подметить кое-что интересное.

Случайно вы наталкиваетесь на соотношения

 

3 + 7 = 10,

3 + 17 = 20,

13 + 17 = 30

 

и замечаете между ними некоторое сходство. Вам приходит в голову, что числа 3, 7, 13 и 17 являются нечетными простыми числами. Сумма двух нечетных простых чисел есть обязательно четное число; действительно, числа 10, 20 и 30 — четные. А что можно сказать о других четных числах? Ведут ли они себя подобным же образом? Первое четное число, являющееся суммой двух нечетных простых чисел, есть, конечно,

6 = 3 + 3.

 

Двигаясь дальше, находим, что

 

8 = 3 + 5,

10 = 3 + 7 = 5 + 5,

12 = 5 +7,

14 = 3 + 11 = 7 + 7,

16 = 3 + 13 = 5 + 11.

 

Всегда ли так будет продолжаться? Как бы то ни было, частные случаи, которые мы наблюдали, наводят на мысль об общем утверждении: любое четное число, большее чем 4, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел. Поразмыслив об исключительных случаях — числах 2 и 4, которые не могут быть расщеплены в сумму двух нечетных простых чисел, мы можем предпочесть следующее менее непосредственное утверждение: любое четное

27

число, не являющееся ни простым числом, ни квадратом простого числа, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел.

Итак, нам удалось сформулировать предположение. Мы нашли это предположение с помощью индукции. Иными словами, оно возникло у нас в результате наблюдения, было указано отдельными частными примерами.

Эти указания являются довольно легковесными; у нас есть лишь очень слабые основания верить в свое предположение. Мы можем, однако, найти некоторое утешение в том факте, что Гольдбах, математик, впервые высказавший это предположение немногим более двухсот лет тому назад, не обладал для этого сколько-нибудь более серьезными основаниями.

Справедливо ли предположение Гольдбаха? Никто сегодня не может ответить на этот вопрос. Несмотря на огромные усилия, затраченные на выяснение этого вопроса некоторыми великими математиками, предположение Гольдбаха сегодня, как это было и в дни Эйлера, является одним из тех «многих свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать» или опровергнуть.

Взглянем теперь назад и попытаемся уловить в предыдущем рассуждении такие шаги, которые могли бы быть типичными для процесса индукции.

Сначала мы подметили некоторое сходство. Мы осознали, что 3, 7, 13 и 17 — простые, а 10, 20 и 30 — четные числа и что три соотношения 3 + 7 = 10, 3 + 17 = 20, 13 + 17 = 30 аналогичны между собой.

Следующим шагом было обобщение. От четырех чисел 3, 7, 13 и 17 мы перешли ко всем нечетным простым числам; от 10, 20 и 30 — ко всем четным числам, а затем — к возможному общему соотношению

 

четное число = простому числу + простое число.

 

Мы пришли, таким образом, к отчетливо сформулированному общему утверждению, которое, однако, является только предположением, только пробным утверждением. Это значит, что утверждение ни в какой степени не является доказанным, никак не может претендовать на истинность, оно является только попыткой подойти к истине.

Это предположение имеет, однако, некоторые наводящие точки соприкосновения, контакта с опытом, с «фактами», с «действительностью». Оно верно для некоторых конкретных чисел 10, 20, 30, а также для 6, 8, 12, 14, 16.

Этими замечаниями мы в общих чертах обрисовали первую стадию процесса индукции.

28

3. Подкрепляющие контакты. Не стоит слишком уж верить в любое недоказанное предположение, даже если оно было предложено большими авторитетами, даже если оно возникло у вас самих. Нужно попытаться доказать его или опровергнуть; нужно его испытать.

Мы испытаем предположение Гольдбаха, если исследуем какое-нибудь новое четное число и выясним, является ли оно суммой двух нечетных простых чисел или нет. Исследуем, например, число 60. Выполним «квазиэксперимент», как выражается Эйлер. Число 60 четное, но является ли оно суммой двух простых чисел? Верно ли, что

 

60 = 3 + простое число?

 

Нет, число 57 не простое. Имеет ли место

 

60 = 5 + простое число?

 

Ответ снова будет «Нет»: число 55 не простое. Если так будет продолжаться и дальше, то предположение будет подорвано. Но следующее испытание дает

60 = 7 + 53,

 

и 53 — простое число. Предположение подтвердилось еще в одном случае.

Противоположный результат решил бы судьбу предположения Гольдбаха раз и навсегда. Если, испытывая все простые числа до данного четного числа, например 60, вы ни в одном случае не приходите к разложению его в сумму двух простых чисел, то тем самым вы безвозвратно подрываете предположение. Подтвердив предположение в случае числа 60, вы не можете прийти к столь же определенному заключению. Вы, безусловно, не докажете теорему с помощью единственного подтверждения. Естественно, однако, истолковать такое подтверждение, как благоприятный признак, говорящий в пользу предположения, делающий его более правдоподобным, хотя, конечно, остается вашим личным делом, какой вес вы придадите этому благоприятному признаку.

Возвратимся на минуту к числу 60. После того как были испытаны простые числа 3, 5 и 7, мы можем испытать остающиеся простые числа до 30. (Очевидно, нет необходимости идти дальше 30 = 60/2, так как одно из двух простых чисел, сумма которых равна 60, должно быть меньше 30.) Мы получим, таким образом, все разложения 60 в сумму двух простых чисел:

 

60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 17 + 43 = 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31.

 

Мы можем действовать систематически и исследовать четные числа одно за другим, как только что исследовали число 60. Результат

29

мы можем записать в виде следующей таблицы:

 

6 =

3 +

3

 

8 =

3 +

5

 

10 =

3 +

7

=

5 +

5

12 =

5 +

7

 

14 =

3 +

11

=

7 +

7

16 =

3 +

13

=

5 +

11

18 =

5 +

13

=

7 +

11

20 =

3 +

17

=

7 +

13

22 =

3 +

19

=

5 +

17 = 11 + 11

24 =

5 +

19

=

7 +

17 = 11 + 13

26 =

3 +

23

=

7 +

19 = 13 + 13

28 =

5 +

23

=

11 +

17

30 =

7 +

23

=

11 +

19 = 13 + 17.

 

Предположение подтверждается во всех случаях, которые мы здесь рассмотрели. Каждое подтверждение, удлиняющее таблицу, усиливает предположение, делает его в большей мере внушающим доверие, увеличивает его правдоподобие. Конечно, никакое число таких подтверждений не могло бы его доказать.

Нам нужно исследовать собранные наблюдения, сравнить их и сопоставить, нужно поискать какой-то ключ, быть может скрытый за ними. В нашем случае очень трудно обнаружить в таблице какой-либо ключ, который мог бы оказать нам существенную помощь. Тем не менее, рассматривая таблицу, мы можем яснее осознать смысл предположения. Таблица показывает, сколькими способами входящие в нее четные числа могут быть представлены как сумма двух простых чисел (6 — одним, 30 — тремя). Число таких представлений четного числа 2n кажется «неправильно возрастающим» вместе с n. Предположение Гольдбаха выражает надежду, что как бы далеко мы ни расширяли таблицу, число представлений никогда не упадет до 0.

Среди исследованных нами частных случаев мы можем различать две группы: те, которые предшествовали формулировке предположения, и те, которые были рассмотрены после нее. Первые навели на предположение, вторые подкрепили его. И те, и другие создают некоторого рода контакт между предположением и «фактами». Таблица не делает различия между «наводящими» и «подкрепляющими» точками соприкосновения.

Посмотрим теперь снова на предыдущее рассуждение и попытаемся заметить в нем черты, типичные для процесса индукции.

Высказав предположение, мы пытались выяснить, является ли оно верным или ошибочным. Наше предположение было утверждением общего характера, возникшим из некоторых частных примеров,

30

в которых оно оказалось верным. Мы исследовали еще несколько частных случаев. Поскольку обнаружилось, что предположение справедливо для всех рассмотренных примеров, наша вера в него возросла.

Мы делали, как мне кажется, только то, что обычно делают разумные люди. Поступая таким образом, мы, по-видимому, принимаем принцип: предположительное общее утверждение становится более правдоподобными, если оно подтверждается для нового частного случая.

Не этот ли принцип лежит в основе процесса индукции?

 

4. Индуктивный подход. В нашей личной жизни мы часто цепляемся за иллюзии. Иными словами, мы не смеем исследовать некоторые представления, которые легко могли бы быть опровергнуты опытом, потому что боимся нарушить свое душевное равновесие. Возможны обстоятельства, в которых не является неразумным цепляться за иллюзии[4], но в науке мы нуждаемся в совершенно ином подходе, в индуктивном подходе. Этот подход имеет целью приспособление наших представлений к нашему опыту в такой степени, в какой это возможно. Он требует беспрекословного предпочтения для того, что фактически существует. Он требует готовности к подъему от наблюдений к обобщениям и готовности к спуску от наиболее широких обобщений к наиболее конкретным наблюдениям. Он требует говорить «быть может» и «возможно» с тысячей различных оттенков. Он требует многих других вещей, и особенно следующих трех.

Во-первых, мы должны быть готовы пересмотреть любое из наших представлений.

Во-вторых, мы должны изменить представление, когда имеются веские обстоятельства, вынуждающие его изменить.

В-третьих, мы не должны изменять представления произвольно, без достаточных оснований.

Эти принципы звучат довольно тривиально. Но нужны довольно необычные достоинства, чтобы их придерживаться.

Первый принцип требует «мужества ума». Вам нужно мужество, чтобы пересмотреть ваши представления. Галилей, бросивший вызов предрассудку своих современников и авторитету Аристотеля, являет собой великий пример мужества ума.

Второй принцип требует «честности ума». Оставаться верным своему предположению, ясно опровергнутому опытом, только потому, что это мое собственное предположение, было бы нечестно.

Третий принцип требует «мудрой сдержанности». Изменить представление без серьезного исследования, например, только ради моды, было бы глупо. Но мы не имеем ни времени, ни сил серьезно исследовать все наши представления. Поэтому будет мудро посвятить нашу повседневную работу, наши вопросы и наши живые сомнения тем представлениям, которые мы можем разумно надеяться исправить.

31

«Не верь ничему, но сомневайся только в том, в чем стоит сомневаться».

Смелость ума, честность ума и мудрая сдержанность — моральные достоинства ученого.

 

ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I

 

1[5]. Догадайтесь, в соответствии с каким правилом выбираются члены последовательности

 

11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, ... .

 

2. Рассмотрите таблицу:

 

1

=

0

+

1

2 + 3 + 4

=

1

+

8

5 + 6 + 7 + 8 + 9

=

8

+

27

10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16

=

27

+

64

 

Догадайтесь, к какому общему закону подводят эти примеры; выразите его в подходящих математических обозначениях и докажите.

3. Рассмотрите значения последовательных сумм

 

1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, ...

 

Имеется ли простое правило?

4. Рассмотрите значения последовательных сумм

 

1, 1 + 8, 1 + 8 + 27, 1 + 8 + 27 + 64, ...

 

Имеется ли простое правило?

5. Три стороны треугольника имеют соответственно длины l, m и n. Числа l, m и n — целые положительные, lmn. Найдите число различных треугольников указанного вида для данного n. (Возьмите n = 1, 2, 3, 4, 5, ...) Найдите общий закон, управляющий зависимостью числа треугольников от n.

6. Три первых члена последовательности 5, 15, 25, ... (чисел, оканчивающихся на 5) делятся на 5, Делятся ли на 5 и следующие члены?

Три первых члена последовательности 3, 13, 23, ... (чисел, оканчивающихся на 3) являются простыми числами. Будут ли простыми числами и следующие члены?

7. С помощью формальных вычислений находим

 

(1 + 11x + 21 x2 + 31x3 + 41x4 + 51 x5 + 61x6 + ...)–1 = 1 – x x2 – 3x3 – 13x4 – 71x5 – 461x6 ...

 

Естественно возникают два предположения относительно следующих коэффициентов степенного ряда, стоящего в правой части: (1) все они отрицательны; (2) все они простые числа. Одинаково ли эти два предположения заслуживают доверия?

8. Положим

Мы найдем, что для

n

= 0

1

2

3

4

5

6

7

8

An

= 1

  1

  1

  2

  4

  14

  38

  216

  600

  6240.

 

Сформулируйте предположение.

9. Великий французский математик Ферма рассмотрел последовательность

 

5, 17, 257, 65 537, …

32

с общим членом 22ⁿ+1. Он заметил, что первые четыре члена, соответствующие n = 1, 2, 3 и 4, являются простыми числами. Он предположил, что следующие члены также являются простыми числами. Хотя он и не доказал этого, он чувствовал такую уверенность в справедливости своего предположения, что бросил вызов Валлису и другим английским математикам, предлагая его доказать. Однако Эйлер нашел, что уже следующий член, 232 + 1, соответствующий n = 5, не является простым числом[]: он делится на 641. См. цитату из Эйлера в начале этой главы: «Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке».

10. Проверяя предположение Гольдбаха для 2n = 60, мы последовательно испытывали простые числа p до n = 30. Однако мы могли бы также испытывать простые числа p между n = 30 и 2n = 60. Какой прием скорее всего окажется более выгодным для бо́льших n?

11. В словаре вы найдете среди объяснений слов «индукция», «эксперимент» и «наблюдение» предложения вроде следующих:

«Индукция есть выведение общего закона из частных случаев, или предъявление фактов, чтобы доказать общее утверждение».

«Эксперимент есть прием для проверки гипотез».

«Наблюдение есть точное прослеживание и регистрирование явлений в том виде, как они появляются в природе, по отношению к причине и результату или взаимным связям».

Применимы ли эти описания к нашему примеру, рассмотренному в §§ 2 и 3?

12. Да и нет. Математик, подобно натуралисту, проверяя некоторые следствия предполагаемого общего закона с помощью нового наблюдения, обращается с вопросом к Природе: «Я подозреваю, что этот закон верен. Верен ли он?» Если следствие ясно опровергается, то закон не может быть верен. Если следствие ясно подтверждается, то имеется некоторое указание, что закон может быть верен. Природа может ответить «Да» или «Нет», но она шепчет один ответ и громогласно произносит другой; ее «Да» условно, ее «Нет» определенно.

13. Опыт и поведение. Опыт вносит изменения в поведение человека. Вместе с тем опыт вносит изменения в человеческие представления. Поведение человека и его представления не независимы. Поведение часто является результатом представлений, представления — это потенциальное поведение. Однако вы можете видеть поведение другого человека, но не можете видеть его представлений. Поведение легче наблюдать, чем представления. Каждый знает поговорку: «Кто обжегся на молоке, тот дует на воду»[], выражающую как раз то, что мы сказали: опыт вносит изменения в поведение человека.

Впрочем, он вносит изменения и в поведение животных.

Неподалеку от моего дома есть гадкая собака, которая лает и бросается на людей безо всякого повода. Но я обнаружил, что довольно легко могу себя защитить. Если я нагибаюсь и делаю вид, что поднимаю камень, то собака с визгом убегает. Так себя ведут не все собаки, и легко догадаться, какого рода опыт явился причиной такого поведения этой собаки.

Медведь в зоопарке «служит», т. е., когда вблизи находится наблюдатель, он становится в смешную позу, которая довольно часто побуждает наблюдателя бросить в клетку кусок сахара. Медведь, живущий на воле, вероятно, никогда не принимает такой нелепой позы, и легко представить, какого рода опыт привел к тому, что медведь из зоопарка научился «служить».

Полное исследование индукции должно было бы, возможно, включать и изучение поведения животных.

33

14. Логик, математик, физик и инженер. «Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что все числа меньше сотни.

«Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными».

«Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; 9, по-видимому, не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.

Совершенно очевидно, что индукция может привести к ошибке. Однако замечательно, что индукция иногда приводит к истине, хотя, по-видимому, возможность появления ошибки так подавляюще велика. Должны ли мы начать с изучения очевидных случаев, когда индукция не удается, или с изучения тех замечательных случаев, когда индукция приводит к успеху? Изучение драгоценных камней, понятно, более привлекательно, чем изучение обычных голышей, и, более того, именно драгоценные камни в гораздо большей степени, чем голыши, привели минералогов к чудесной науке кристаллографии.

II. ОБОБЩЕНИЕ, СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ, АНАЛОГИЯ

 

И я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии. — Кеплер

 

1. Обобщение, специализация, аналогия и индукция. Взглянем снова на предмет индуктивного рассуждения, который мы разобрали довольно подробно (§§ 1.2, 1.3). Мы начали с того, что подметили аналогию трех соотношений:

 

3 + 7 = 10,      3 + 17 = 20,    13 + 17 = 30,

 

мы обобщили, поднявшись от 3, 7, 13 и 17 ко всем простым, а от 10, 20 и 30 ко всем четным числам, затем мы снова специализировали, спустившись к испытанию отдельных четных чисел, как например 6 или 8, или 60.

Этот первый пример крайне прост. Он совершенно правильно иллюстрирует роль обобщения, специализации и аналогии в индуктивном рассуждении. Однако мы собираемся привести менее скудные, более яркие иллюстрации, и до этого нам нужно рассмотреть обобщение, специализацию и аналогию, эти великие источники открытия, ради них самих.

 

2. Обобщение есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Например, мы делаем обобщение, когда переходим от рассмотрения треугольников к рассмотрению многоугольников с произвольным числом сторон. Мы делаем обобщение и когда переходим от изучения тригонометрических функций острого угла к изучению тригонометрических функций произвольного угла.

Можно заметить, что в этих двух примерах обобщение осуществлялось в двух характерно различных направлениях. В первом примере, в переходе от треугольников к многоугольникам с n сторонами, мы заменяем постоянную переменной, фиксированное число 3 произвольным числом n (ограниченным только неравенством n ≥ 3). Во втором примере, в переходе от острых углов к произвольным углам α, мы отбрасываем ограничение, именно ограничение 0° < α < 90°.

Мы часто делаем обобщение, переходя от одного лишь предмета к целому классу, содержащему этот предмет.

35

3. Специализация есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном. Например, мы специализируем, когда переходим от рассмотрения многоугольников к рассмотрению правильных многоугольников, и специализируем еще дальше, когда переходим от правильных многоугольников с n сторонами к правильному, т. е. равностороннему треугольнику.

Эти два последовательных перехода осуществлялись в двух характерно различных направлениях. В первом переходе, от многоугольников к правильным многоугольникам, мы ввели ограничение, именно потребовали, чтобы все стороны и все углы многоугольника были равны. Во втором переходе мы заменили переменный предмет конкретным, поставили 3 вместо переменного целого числа n.

Очень часто мы производим специализацию, переходя от целого класса предметов к одному предмету, содержащемуся в этом классе. Например, когда мы хотим проверить некоторое общее утверждение относительно простых чисел, мы выбираем какое-нибудь простое число, скажем, 17, и исследуем, справедливо ли это общее отверждение или нет именно для этого числа 17.

 

4. Аналогия. В понятиях обобщения и специализации нет ничего неясного или сомнительного. Однако, приступая к рассмотрению аналогии, мы становимся на менее прочное основание.

Аналогия есть некоторого рода сходство. Она, можно сказать, есть сходство, но на более определенном и выражаемом с помощью понятий уровне. Однако мы можем выразиться несколько более точно. Существенное различие между аналогией и другими видами сходства заключается, как мне кажется, в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении. Если вы намереваетесь свести это отношение, в котором они согласуются, к определенным понятиям, то вы рассматриваете эти сходные предметы как аналогичные. Если вам удается добраться до ясных понятий, то вы выяснили аналогию.

Сравнивая молодую женщину с цветком, поэты ощущают, я надеюсь, некоторое сходство, но обычно они не имеют в виду аналогии. Действительно, они едва ли намереваются покинуть мир эмоций и свести это сравнение к чему-то измеримому или определимому с помощью понятий.

Рассматривая в музее естественной истории скелеты различных млекопитающих, вы можете обнаружить, что все они страшны. Если в этом все сходство, которое вы между ними обнаружили, то вы видите не такую уж сильную аналогию. Однако вы можете подметить удивительно много говорящую аналогию, если рассмотрите руку человека, лапу кошки, переднюю ногу лошади, плавник кита и крыло летучей мыши — эти столь различно используемые органы — как состоящие из сходных частей, имеющих сходное отношение друг к другу.

36

Последний пример иллюстрирует наиболее типичный случай выясненной аналогии; две системы аналогичны, если они согласуются в ясно определенных отношениях соответствующих частей.

Например, треугольник на плоскости аналогичен тетраэдру в пространстве. На плоскости 2 прямые линии не могут образовать ограниченную фигуру, а 3 могут образовать треугольник. В пространстве 3 плоскости не могут образовать ограниченное тело, а 4 могут образовать тетраэдр. Отношение треугольника к плоскости такое же, как отношение тетраэдра к пространству, поскольку и треугольник, и тетраэдр ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов. Отсюда аналогия.

Одно из значений греческого слова «аналогиа», от которого происходит слово «аналогия», есть «пропорция». Действительно, система двух чисел 6 и 9 «аналогична» системе двух чисел 10 и 15, поскольку отношения соответствующих членов этих двух систем согласуются:

 

6 : 9 = 10 : 15.

 

Пропорциональность, или согласованность отношений соответствующих частей, которую мы интуитивно видим в геометрически подобных фигурах, является наводящим на размышления случаем аналогии.

Вот другой пример. Мы можем рассматривать треугольник и пирамиду, как аналогичные фигуры. С одной стороны, возьмите прямоугольный отрезок, с другой — многоугольник. Соедините все точки отрезка с точкой, не лежащей на содержащей отрезок прямой, и вы получите треугольник. Соедините все точки многоугольника с точкой, не лежащей в плоскости многоугольника, и вы получите пирамиду. Таким же образом мы можем рассматривать как аналогичные фигуры параллелограмм и призму. Действительно, перемещайте отрезок или многоугольник параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей содержащую его прямую или плоскость, и первый опишет параллелограмм, а второй — призму. У нас может возникнуть искушение выразить это соотношение соответствия между плоскими фигурами и пространственными телами с помощью некоторого рода пропорции, и если на этот раз мы не устоим от искушения, то придем к рис. 2.1. Этот рисунок видоизменяет обычный смысл некоторых символов (: и =) в том же направлении, в котором смысл слова «аналогиа» на протяжении истории языка был видоизменен от «пропорции» к «аналогии».

Последний пример поучителен еще и в другом отношении. Аналогия, особенно неполностью выясненная аналогия, может иметь не один смысл. Так, сравнивая плоскую и пространственную геометрию, мы сначала нашли, что треугольник в плоскости аналогичен тетраэдру в пространстве, а затем, что треугольник аналогичен пирамиде. Обе аналогии разумны, каждая имеет значение в своем месте. Между плоской и пространственной геометрией имеется несколько аналогий, а не всего лишь одна привилегированная аналогия.

37

Рис. 2.2 показывает, как начиная от треугольника мы можем подняться к многоугольнику с помощью обобщения, спуститься к равностороннему треугольнику с помощью специализации или перейти к различным пространственным телам с помощью аналогии — имеются аналогии во все стороны.

 

 

Рис. 2. 1. Соотношения аналогии на плоскости и в пространстве.

 

 

И запомните: не пренебрегайте смутными аналогиями. Однако если вы хотите, чтобы они заслуживали уважение, попытайтесь их выяснить.

 

 

Рис. 2. 2. Обобщение, специализация, аналогия.

 

5. Обобщение, специализация и аналогия часто сотрудничают в решении математических задач[]). Возьмем в качестве примера доказательство наиболее известной теоремы элементарной математики, теоремы Пифагора. Доказательство, которое мы изложим, не является новым. Оно принадлежит самому Евклиду (Евклид IV, 31)

(1) Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, из которых первая, a, является гипотенузой. Мы хотим доказать, что

 

a2 = b2 + c2                                                                (A)

38

Эта цель наталкивает нас на мысль построить на трех сторонах нашего треугольника квадраты. И таким образом мы приходим к довольно знакомой части I нашей составной фигуры (рис. 2.3). (Читатель должен вычерчивать части этой фигуры по мере того, как они появляются в нашем рассуждении, чтобы видеть, как она возникает.)

(2) Открытия, даже очень скромные открытия, требуют, чтобы что-то было подмечено, осознана какая-то связь. Мы сумеем открыть доказательство, которое будет приведено ниже, если заметим аналогию между знакомой[6] частью I нашей составной фигуры и едва ли менее знакомой частью II: тот же самый прямоугольный треугольник, что и в I, разбивается в II на две части высотой, опущенной на гипотенузу.

 

 

Рис. 2.3.

 

(3) Возможно, вы не улавливаете аналогии между I и II. Эта аналогия, однако, может быть сделана ясной с помощью совместного обобщения фигур I и II, выраженного в III. Там мы снова находим тот же самый прямоугольный треугольник, и на трех его сторонах построены три многоугольника, подобные друг другу, но в остальном произвольные.

(4) Площадь квадрата, построенного на гипотенузе в I, равна a2. Площадь неправильного многоугольника, построенного на гипотенузе в III, можно считать равной λa2, множитель λ определяется как отношение двух данных площадей. Но тогда из подобия трех многоугольников, построенных на сторонах a, b и c треугольника в III, следует, что их площади соответственно равны λa2, λb2, и λc2.

Теперь, если бы уравнение (A) было верно (как устанавливается теоремой, которую мы хотим доказать), то было бы верно также и следующее:

 

λa2 = λb2 + λc2                                                                      (B)

 

Действительно, нужно лишь очень небольшое применение алгебры, чтобы из (A) вывести (B). Теперь (B) представляет обобщение исходной теоремы Пифагора: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то многоугольник, построенный на гипотенузе, равен по площади сумме двух других.

Поучительно заметить, что это обобщение равносильно частному случаю, от которого мы отправлялись. В самом деле, мы можем

39

уравнения (A) и (B) вывести одно из другого путем умножения или деления на λ (которое как отношение двух площадей отлично от 0).

(5) Общая теорема, выраженная в (B), равносильна не только частному случаю (A), но и любому другому частному случаю. Следовательно, если бы какой-нибудь такой частный случай оказался очевидным, то общий случай был бы доказан.

Так вот, пытаясь найти полезную специализацию, поищем подходящий частный случай. И действительно, II представляет такой случай. В самом деле, прямоугольный треугольник, построенный на своей собственной гипотенузе, как хорошо известно и как легко видеть, подобен двум другим треугольникам, построенным на его катетах. И, очевидно, площадь всего треугольника равна сумме площадей двух его частей. Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Предыдущее рассуждение чрезвычайно поучительно. Случай является поучительным, если мы можем научиться на нем чему-нибудь, приложимому к другим случаям, и тем более поучительным, чем шире границы возможных приложений. И вот на предыдущем примере мы можем научиться употреблению таких фундаментальных мыслительных операций, как обобщение, специализация и восприятие аналогий. Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без этих операций, в особенности без аналогии.

Предыдущий пример показывает, как от частного случая (от случая, представленного фигурой I) с помощью обобщения мы можем подняться к более общей ситуации (к фигуре III) и с помощью специализации вновь спуститься отсюда к аналогичному случаю (к фигуре II). Он демонстрирует также тот факт, столь обычный в математике и тем не менее столь поражающий начинающего или философа, хотя он как будто и знает, что общий случай может быть логически равен частному случаю. Наш пример просто и наглядно показывает, как обобщение, специализация и аналогия естественно сочетаются в усилии достигнуть желаемого решения. Заметьте, что, для того чтобы полностью понять предыдущее рассуждение, нужен лишь минимум предварительных знаний.

 

6. Открытие по аналогии. Аналогия, по-видимому, имеет долю во всех открытиях, но в некоторых она имеет львиную долю. Я хочу проиллюстрировать это примером, не совсем элементарным, но имеющим исторический интерес и производящим значительно более сильное впечатление, чем любой вполне элементарный пример, который я могу себе представить.

Яков Бернулли, швейцарский математик (1654—1705), современник Ньютона и Лейбница, открыл суммы нескольких бесконечных рядов, но ему не удалось найти сумму ряда чисел, обратных

40

квадратам:

 

 

«Если кому-либо удастся, — писал Бернулли, — найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны».

Эта задача привлекла внимание другого швейцарского математика, Леонарда Эйлера[] (1707—1783), который родился, как и Яков Бернулли, в Базеле и был учеником Иоганна Бернулли (1667—1748), брата Якова. Он нашел различные выражения для искомой суммы (определенные интегралы, другие ряды), но ни одно из них его не удовлетворяло. одним из этих выражений он воспользовался, чтобы вычислить сумму с точностью до семи знаков (1,644934). Но это только приближенное значение, а его целью было найти точное. В конце концов он открыл его. Аналогия привела его к чрезвычайно дерзкому предположению.

(1) Начнем с обозрения нескольких элементарных алгебраических фактов, существенных в открытии Эйлера. Если уравнение n-й степени

 

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn = 0

 

имеет n различных корней

 

α1, α2, …, αn,

 

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение n линейных множителей

 

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn = an(x—α1) (x—α2) … (x—αn)

 

Сравнивая члены с одной и той же степенью x в обеих частях этого тождества, выводим хорошо известные соотношения между корнями и коэффициентами уравнения, простейшим из которых является

 

an—1 = — an (α1 + α2 + … + αn);

 

мы находим его, сравнивая члены с xn—1.

Разложение на линейные множители можно представить по-другому. Если ни один из корней α1, α2, …, αn не равен 0 или (что то же самое) если α0 отлично от нуля, то мы имеем также

 

и

41

Существует еще другой вариант. Предположим, что уравнение степени 2n имеет вид

 

b0 b1x2 + b2x4 — … + (—1)nbnx2n = 0

 

и 2n различных корней

 

β1, –β1, β2, –β2, …, βn, –βn.

 

Тогда

 

(2) Эйлер рассматривает уравнение

sin x = 0,

или

 

Левая часть имеет бесконечное число членов, она «бесконечной степени». Поэтому не удивительно, говорит Эйлер, что имеется бесконечное число корней

 

0, π, –π, 2π, –2π, 3π, –3π, …

 

Эйлер отбрасывает корень 0. Он делит левую часть уравнения на x, линейный множитель, соответствующий корню 0, и получает таким образом уравнение

 

с корнями

 

π, – π, 2π, –2π, 3π, –3π, …

 

Мы встречались с аналогичной ситуацией раньше, в (1), когда рассматривали последний вариант разложения на линейные множители. Эйлер по аналогии заключает, что

 

42

Это тот самый ряд, который не поддавался усилиям Якова Бернулли, но это было дерзкое заключение.

(3) Эйлер очень хорошо знал, что его заключение было дерзким. «Метод был новым и никогда еще не использовался для такой цели», — писал он десять лет спустя. Он сам видел некоторые возражения и многие возражения были выдвинуты его друзьями-математиками, когда они оправились после первого восхищенного изумления.

Однако у Эйлера были свои основания верить в это открытие.

Прежде всего, числовое значение для суммы ряда, которое он вычислял раньше, до последнего знака согласовалось с π2/6. Сравнивая следующие коэффициенты в его выражении sin x в виде произведения, он нашел сумму другого замечательного ряда, а именно ряда чисел, обратных четвертым степеням:

 

Снова он исследовал числовое значение и снова нашел согласие.

(4) Эйлер испытал свой метод и на других примерах. Ему удалось при этом вновь получить сумму π2/6 для ряда Якова Бернулли с помощью различных видоизменений своего первого подхода. Ему удалось также заново открыть своим методом сумму важного ряда, принадлежащего Лейбницу.

Остановимся на последнем вопросе. Рассмотрим, следуя Эйлеру, уравнение

 

1 — sin x = 0.

Оно имеет корни

 

 

Каждый из этих корней является, однако, двойным корнем. (Кривая y = sin x не пересекает при этих абсциссах прямую y = 1, а касается ее. Производная левой части, но не вторая производная при этих значениях x обращается в нуль.) Следовательно, уравнение

 

имеет корни

 

и заключение Эйлера по аналогии приводит к разложению на линейные множители:

 

 

43

Сравнивая коэффициенты при ч в обеих частях равенства, получаем

 

 

Это — знаменитый ряд Лейбница; дерзкий прием Эйлера привел к уже известному результату. «Для нашего метода, — говорит Эйлер, — который может некоторым казаться недостаточно надежным, здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем же методом».

(5) Однако Эйлер продолжал сомневаться. Он и дальше производил числовые проверки, описанные выше в (3), исследовал все больше рядов и все больше десятичных знаков и во всех подвергавшихся исследованию случаях находил согласие. Он испытывал и другие подходы, и наконец ему удалось не только приближенно, но и точно подтвердить значение π2/6 для суммы ряда Якова Бернулли. Он нашел новое доказательство. Это доказательство, хотя и скрытое и остроумное, опиралось на более обычные соображения и было принято как совершенно строгое. Итак, наиболее бросающееся в глаза следствие открытия Эйлера было убедительно подтверждено. Эти доводы, по-видимому, убедили Эйлера в том, что его результат правилен[].

 

7. Аналогия и индукция. Мы хотим узнать что-нибудь о природе изобретательных и индуктивных рассуждений. Что мы можем почерпнуть из только что приведенного рассказа?

(1) Решающий шаг Эйлера был дерзким. С точки зрения строгой логики он был явной ошибкой: Эйлер применил правило к такому случаю, для которого правило не было остановлено; правило, относящееся к алгебраическим уравнениям, он применил к уравнениям неалгебраическим. С точки зрения строгой логики шаг Эйлера не был оправдан. Однако он был оправдан аналогией, аналогией с наиболее плодотворными достижениями растущей науки, которую через несколько лет он сам назвал «Анализом Бесконечного». Другие

44

математики, до Эйлера, переходили от конечных разностей к бесконечно малым разностям, от сумм с конечным числом членов к суммам с бесконечным числом членов, от конечных произведений к бесконечным произведениям. И таким же образом Эйлер перешел от уравнений конечной степени (алгебраических уравнений) к уравнениям бесконечной степени, применяя к бесконечному правила, установленные для конечного.

Эта аналогия, этот переход от конечного к бесконечному окружен ловушками. Как избежал их Эйлер? Он был гением, ответят некоторые, и, конечно, это вовсе не объяснение. Эйлер имел серьезные основания верить в свое открытие. Имея хоть сколько-нибудь здравого смысла, мы сможем понять эти основания без сверхъестественной проницательности, свойственной гениям.

(2) Основания Эйлера для веры в это открытие, кратко изложенные выше[]), не являются доказательными. Эйлер не возвращается к исследованию оснований своего предположения[], своего дерзкого перехода от конечного к бесконечному; он только изучает его следствия. Он рассматривает подтверждение любого такого следствия как аргумент в пользу своего предположения. Он принимает и приближенные, и точные подтверждения, но, по-видимому, придает больше веса последним. Он изучает также следствия тесно связанных аналогичных предположений[] и рассматривает подтверждение такого следствия как аргумент в пользу своего предположения.

Основания Эйлера в действительности были индуктивными. Изучение следствий предположения и оценка его на основе такого изучения — это типичный индуктивный прием. В научном исследовании, как и в обычной жизни, мы верим или должны были бы верить в предположение больше или меньше в соответствии с тем, лучше или хуже его обозримые следствия согласуются с фактами

Короче говоря, Эйлер, по-видимому, рассуждает таким же образом, как обычно рассуждают разумные люди, ученые или неученые. Он, по-видимому, принимает некоторые принципы:

Предположение становится более правдоподобным после подтверждения любого нового следствия.

И:

Предположение становится более правдоподобным, если становится более правдоподобным аналогичное предположение.

Не этого ли рода принципы лежат в основе процесса индукции?

45

ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II

 

Первая часть

 

1. Правильное обобщение.

A. Найдите три числа x, y и z, удовлетворяющие следующей системе уравнений

 

9x — 6y — 10z = 1,

—6x + 4y + 7z = 0,

x2y2z2 = 9.

 

Если вам нужно решить A, то какое из следующих обобщений может лучше способствовать решению: B, C или D?

B. Найдите три неизвестных из системы трех уравнений.

C. Найдите три неизвестных из системы трех уравнений, первые два из которых линейны, а третье второй степени.

D. Найдите n неизвестных из системы n уравнений, первые n — 1 из которых линейны.

2. Даны произвольно расположенные точка и «правильная» пирамида с шестиугольным основанием. (Пирамида называется «правильной», если ее основание есть правильный многоугольник, через центр которого проходит высота пирамиды.) Найдите плоскость, которая проходит через данную точку и делит пополам объем данной пирамиды.

Чтобы помочь вам, я задаю вопрос: Каково правильное обобщение?

3. A. Три прямые, не лежащие в одной плоскости, проходят через одну и ту же точку O. Проведите через O плоскость, одинаково наклоненную к этим трем прямым.

B. Три прямые, не лежащие в одной плоскости, проходят через одну и ту же точку. Точка P находится на одной из этих прямых; проведите через P плоскость, одинаково наклоненную к этим трем прямым.

Сравните задачи A и B. Могли бы вы воспользоваться решением одной при решении другой? В чем состоит их логическая связь?

4. A. Вычислите интеграл

B. Вычислите интеграл

где p — данное положительное число.

Сравните задачи A и B. Могли бы вы воспользоваться решением одной при решении другой? В чем состоит их логическая связь?

5. Крайний частный случай. Два человека сидят за столом обычной прямоугольной формы. Один кладет на стол свой пенс, затем то же делает другой и так далее, поочередно. Подразумевается, что каждый пенс лежит на столе своей плоскостью и не налегает на какую-нибудь ранее положенную монету. Тот игрок, который кладет на стол последнюю монету, забирает деньги. Какой из игроков должен выиграть, если каждый играет наилучшим образом?

Это старинная, но превосходная головоломка. Мне довелось однажды наблюдать за действительно выдающимся математиком, когда ему была предложена эта головоломка. Он начал с того, что сказал: «Допустим, что стол так мал, что он покрывается одним пенсом. Тогда, очевидно, должен выиграть первый игрок. Иными словами, он начал с рассмотрения крайнего частного случая, в котором решение очевидно.

Из этого частного случая вы можете получить полное решение, если представите себе стол постепенно расширяющимся и смещающим все больше и больше монет. Может быть, еще лучше обобщить задачу и подумать о столах

46

различных форм и размеров. Если вы подметите, что стол имеет центр симметрии и что правильное обобщение могло бы состоять в рассмотрении столов с центром симметрии, то получите решение или по крайней мере окажетесь к нему очень близко.

6. Постройте общую касательную двух данных окружностей.

Чтобы помочь вам, я задаю вопрос: Существует ли более доступный крайний частный случай?

7. Ведущий частный случай. Площадь многоугольника равна A, его плоскость образует с другой плоскостью угол α. Многоугольник ортогонально проектируется на вторую плоскость. Найдите площадь проекции.

Существует одна форма, с которой особенно легко иметь дело: прямоугольник, основание которого параллельно линии l пересечения плоскости проектируемой фигуры с плоскостью проекции. Если a — основание такого прямоугольника, b — его высота и, следовательно, его площадь ab, то соответствующие величины для проекции будут a, b cos α и ab cos α. Если площадь такого прямоугольника равна A, то площадь его проекции равна A cos α.

Этот частный случай прямоугольника с основанием, параллельным l, не только особенно доступен; он является ведущим частным случаем. Другие случаи следуют из него; решение задачи в ведущем частном случае включает в себя решение задачи в общем случае. Действительно, отправляясь от прямоугольника с основанием, параллельным l, мы можем распространить правило «площадь проекции равна A cos α» последовательно на все другие фигуры. Сначала на прямоугольные треугольники с катетом, параллельным l (разбивая на две равные части тот прямоугольник, с которого мы начали). Затем на любой треугольник со стороной, параллельной l (соединяя два прямоугольных треугольника); наконец, на произвольный многоугольник (разбивая его на треугольники только что упомянутого вида). Мы можем даже перейти к фигурам с криволинейными границами (рассматривая их как пределы многоугольников).

8. Угол с вершиной в центре круга вдвое больше угла с вершиной на окружности, опирающегося на то же основание, т. е. на ту же дугу. (Евклид III, 20).

Если дан угол с вершиной в центре, то угол с вершиной на окружности еще не определен, его вершина может иметь различные положения. Каким является «ведущее частное положение» в обычном доказательстве теоремы (доказательстве Евклида)?

9. Основная в теории аналитических функций теорема Коши утверждает, что интеграл от функции комплексного переменного вдоль произвольной замкнутой кривой равен нулю, если в области, ограниченной этой кривой, функция регулярна. Мы можем рассмотреть частный случай теоремы Коши, когда замкнутая кривая есть треугольник, как ведущий частный случай: доказав теорему для треугольника, мы легко сумеем последовательно распространить ее на многоугольники (соединяя треугольники) и кривые (рассматривая их как пределы многоугольников). Обратите внимание на аналогию с задачами 7 и 8.

10. Частный случай-представитель. Вам нужно решить какую-нибудь задачу о многоугольниках с n сторонами. Вы чертите пятиугольник, решаете задачу для него, изучаете ваше решение и замечаете, что оно в такой же мере годится в общем случае для любого n, как и в частном случае n = 5. Тогда вы можете назвать n = 5 частным случаем-представителем: он представляет вам общий случай. Конечно, для того чтобы быть действительно представителем, случай n = 5 не должен иметь никаких специфических упрощений, которые могли бы ввести вас в заблуждение. Частный случай-представитель должен быть не проще, чем общий случай.

47

Частные случаи-представители часто удобны в преподавании. Мы можем доказать теорему об определителях n-го порядка, тщательно рассматривая определители всего лишь 3-го порядка.

11. Аналогичный случай. Задача состоит в проектировании самолетов так, чтобы опасность перелома черепа в случае аварии была наименьшей. Врач, изучающий эту задачу, экспериментирует с яйцами, разбивая их при различных условиях. Что он делает? Он видоизменил первоначальную задачу и изучает теперь вспомогательную задачу разбивания яиц вместо разбивания черепов. Связь между двумя задачами — первоначальной и вспомогательной — аналогия. С механической точки зрения голова человека и куриное яйцо в общих чертах аналогичны: голова и яйцо состоят из жесткой хрупкой оболочки, содержащей студенистое вещество.

12. Если две прямые в пространстве пересекаются тремя параллельными плоскостями, то соответствующие отрезки пропорциональны.

Чтобы помочь вам найти доказательство, я задаю вопрос: Существует ли более простая теорема?

13. Четыре диагонали параллелепипеда имеют общую точку, являющуюся серединой каждой из них.

Существует ли более простая аналогичная теорема?

14. Сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше, чем третий плоский угол.

Существует ли более простая аналогичная теорема?

15. Рассмотрите тетраэдр как тело, аналогичное треугольнику. Перечислите понятия пространственной геометрии, аналогичные следующим понятиям плоской геометрии: биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник[7].

16. Рассмотрите пирамиду как тело, аналогичное треугольнику. Перечислите тела, аналогичные следующим плоским фигурам: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, биссектриса угла. Сформулируйте теорему пространственной геометрии, аналогичную следующей теореме плоской геометрии: площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту же длину, что и окружность, и высота которого равна радиусу.

17. Придумайте теорему пространственной геометрии, аналогичную следующей теореме плоской геометрии: высота равнобедренного треугольника проходит через середину основания.

Какой пространственное тело вы рассматриваете как аналогичное равнобедренному треугольнику?

18. Великие аналогии. (1) Предыдущие примеры 12—17 подчеркивают аналогию между плоской и пространственной геометрией эту аналогию можно рассматривать со многих точек зрения и поэтому часто она неоднозначна и не всегда имеет ясные очертания, но она является неисчерпаемым источником новых идей и новых открытий.

(2) Числа и фигуры являются не единственными объектами математики. Математика принципиально неотделима от логики и имеет дело со всеми объектами, которые могут быть объектами точной теории[]. Числа и фигуры,

48

однако, являются наиболее обычными объектами математики, и математики любят иллюстрировать факты, касающиеся чисел, свойствами фигур, а факты, касающиеся фигур, свойствами чисел. Поэтому существуют бесчисленные виды аналогии между числами и фигурами. Некоторые из этих видов очень ясны. Так в аналитической геометрии мы изучаем точно определенное соответствие между алгебраическими и геометрическими объектами и отношениями. Но многообразие геометрических фигур неисчерпаемо, как неисчерпаемо и многообразие возможных операций над числами; столь же неисчерпаемы и возможные соответствия между этими многообразиями.

(3) Изучение пределов и предельных процессов вводит иной вид аналогии, которую можно назвать аналогией между бесконечным и конечным. Так бесконечные ряды и интегралы в различных отношениях аналогичны конечным сумма, пределами которых они являются; дифференциальное исчисление аналогично исчислению конечных разностей; дифференциальные уравнения, особенно линейные однородные уравнения, до некоторой степени аналогичны алгебраическим уравнениям и так далее. Важной относительно новой ветвью математики является теория интегральных уравнений; она дает удивительный и прекрасный ответ на вопрос: что в интегральном исчислении является аналогом системы n линейных уравнений с n неизвестными? Аналогия между бесконечным и конечным вызывает особый интерес потому, что она имеет своеобразные трудности и ловушки. Она может вести к открытию или к ошибке; см. пример 46.

(4) Галилей, открывший параболическую траекторию брошенных тел и количественный закон их движения, сделал также великие открытия в астрономии. С помощью своего только что изобретенного телескопа он открыл спутников Юпитера[8]. Он заметил, что эти спутники, обращающиеся вокруг планеты Юпитер, аналогичны Луне, обращающейся вокруг Земли, а также аналогичны планетам, обращающимся вокруг Солнца. Он открыл также фазы Венеры и подметил их сходство с фазами Луны. Эти открытия, воспринятые как великое подтверждение гелиоцентрической теории Коперника, горячо обсуждались в то время. Странно, что Галилей не заметил аналогии между движением небесных тел и движением брошенных тел, которую вполне возможно осознать интуитивно. Траектория брошенного тела обращена своей вогнутостью к земле, и то же самое имеет место для траектории Луны. Ньютон настаивал на этой аналогии: «брошенный камень под действием собственного веса отклоняется от прямолинейного пути, по которому он должен был бы следовать под влиянием только начального броска, и вынужден описать кривую линию в воздухе, и …наконец упасть на землю; и чем больше скорость, с которой он брошен, тем дальше он пролетит, прежде чем упадет на землю. Поэтому мы можем предположить, что при соответственно возрастающей скорости он опишет дуги в 1, 2, 5, 10, 100, 1000 миль, прежде чем упадет на землю, пока наконец, покинув пределы Земли, он не должен будет перейти в пространство, не коснувшись ее»[]. См. рис 2.4.

Меняясь непрерывно, траектория камня переходит в траекторию Луны. И как камни и Луна связаны с Землей, так спутники Юпитера связаны с Юпитером или Венера или другие планеты с Солнцем. Без ясного понимания этой аналогии мы можем только очень несовершенно понять открытие Ньютоном всемирного тяготения, которое до сих пор мы можем рассматривать как величайшее когда бы то ни было сделанное научное открытие.

19. Выяснение аналогии. Аналогия часто является смутной. Ответ на вопрос, что чему аналогично, часто неоднозначен. Смутность аналогии не уменьшает ее интереса и полезности; однако те случаи, когда понятие аналогии

49

достигает ясности логических или математических понятий, заслуживают специального рассмотрения.

(1) Аналогия есть сходство отношений. Это сходство имеет ясный смысл, если отношения управляются одними и теми же законами. С этой точки зрения сложение чисел аналогично умножению чисел в той степени, в какой

 

 

Рис. 2.4. От траектории камня к траектории Луны. Из «Системы мира» Ньютона.

 

сложение и умножение подчиняется одним и тем же правилам. И сложение и умножение коммутативны и ассоциативны,

 

a + b = b + a, ab = ba,

 

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).

 

Сходны, поскольку каждое из них допускает решение и не более чем одно решение. (Чтобы иметь возможность установить последнее правило без исключения, мы должны допустить отрицательные числа при рассмотрении сложения и исключить случай a = 0 при рассмотрении умножения.) В этой связи вычитание аналогично делению; действительно, решениями вышеуказанных уравнений соответственно являются

50

Далее, число 0 аналогично числу 1; действительно, прибавление 0 к любому числу, как и умножение любого числа на 1, не меняет этого числа,

 

a + 0 = a,        a·1 = a.

 

Эти законы — одни и те же для различных классов чисел; мы можем рассматривать здесь рациональные числа, или действительные числа, или комплексные числа. Вообще, системы объектов, подчиняющиеся одним и тем же основным законам (или аксиомам), можно рассматривать как аналогичные между собой, и этот вид аналогии имеет вполне ясный смысл.

 

(2) Сложение действительных чисел аналогично умножения положительных чисел еще и в другом смысле. Любое действительное число r есть логарифм некоторого положительного числа p,

r = log p,

 

(Если мы рассматриваем десятичные логарифмы, то r = — 2 при p = 0,01.) В силу этого соотношения каждому положительному числу соответствует совершенно определенное действительное число, и каждому действительному числу — совершенно определенное положительное число. При этолм соответствии сложение действительных чисел соответствует умножению положительных чисел. Если

 

r = log p,         r' = log p',        r" = log p",

 

то любое из следующих двух соотношений влечет за собой другое:

 

r + r' = r",       pp' = p".

 

Формула слева и формула справа рассказывают один и тот же рассказ на двух разных языках. Назовем одно из соответствующих чисел переводом другого; например, назовем действительное число r (логарифм p) переводом p, а p оригиналом для r. (Мы могли бы поменять местами слова «перевод» и «оригинал», но должны были сделать выбор, и после этого мы придерживаемся нашего выбора.) В этой терминологии сложение выступает как перевод умножения, вычитание — как перевод деления, 0 — как перевод 1, коммутативный закон и ассоциативный закон для сложения действительных чисел понимаются как переводы этих законов для умножения положительных чисел. Перевод, конечно отличается от оригинала, но он является правильным переводом в следующем смысле: из любого соотношения между элементами оригинала мы можем с непреложностью вывести соответствующее соотношение между соответствующими элементами перевода и наоборот. Такой правильные перевод, т. е. взаимно однозначное соответствие, сохраняющее законы некоторых соотношений, на техническом языке математика называется изоморфизмом. Изоморфизм есть вполне выясненный вид аналогии.

(3) Третий тип вполне выясненной аналогии есть то, что математики называют на техническом языке гомоморфизмом (или многозначным изоморфизмом). Подробное изложение примера или точное описание этого понятия заняло бы слишком много времени, но мы можем попытаться понять следующее приближенное описание. Гомоморфизм есть своего рода систематически сокращенный перевод. Оригинал не только переводится на другой язык, но и сокращается, так что то, что получается в конечном счете после перевода и сокращения, оказывается систематически равномерно сжатым в половину или одну треть или в какую-либо другую долю первоначальной протяженности. Тонкости при таком сокращении могут быть потеряны но все, что есть в оригинале, чем-то представлено в переводе, и в уменьшенном масштабе соотношения сохраняются.

20. Цитаты.

«Посмотрим, не могли бы мы удачно придумать какую-либо другую общую задачу, которая содержит первоначальную задачу и легче поддается решению. Так, когда мы разыскиваем касательную в данной точке, мы представляем себе, что просто разыскиваем прямую, пересекающую данную кривую

51

в данной точке и в некоторой другой точке, удаленной на данное расстояние от данной точки. После решения этой задачи, которую всегда можно легко решить с помощью алгебры, мы находим касательную как частный случай, именно частный случай, когда данное расстояние минимально, сводится к точке, исчезает» (Лейбниц).

«Как часто случается, общая задача оказывается легче, чем была бы частная задача, если бы мы пытались решить ее непосредственно, в лоб» (Лежен-Дирихле, Дедекинд).

«[Может оказаться полезным] свести род ко всем его отдельным видам, и таким образом к немногим видам, однако наиболее полезно свести род к одному наименьшему виду» (Лейбниц).

«Правильно в философии рассматривать сходство, даже в вещах, далеко отстоящих друг от друга» (Аристотель).

«Сравнения имеют огромное значение, поскольку они сводят неизвестные отношения к известным отношениям.

Правильное понимание есть, наконец, схватывание отношений (un saisir de rapports). Но мы понимаем отношения более отчетливо и более ясно, когда осознаем, что они одни и те же в широко отличающихся случаях и между совершенно разнородными объектами (Шопенгауэр).

Вам не следует, однако забывать, что существует два рода обобщений: один дешевый, а другой ценный. Легко обобщить путем разрежения, важно обобщить путем сгущения. Развести немного вина большим количеством воды дешево и легко. Приготовить очищенный и сгущенный экстракт из некоторых хороших составных частей значительно труднее, но ценно. Обобщение путем сгущения сжимает в одно понятие большого размаха несколько идей, казавшихся ранее разбросанными. Так, теория групп сводит к общему выражению идеи, рассеянные перед тем в алгебре, теории чисел, анализе, геометрии, кристаллографии и других областях. В настоящие дни более моден, чем прежде, другой род обобщения. Он разводит маленькие идеи большой терминологией. Автор обычно предпочитает даже эти маленькие идеи брать у кого-либо другого, воздерживаясь от добавления какого-либо собственного наблюдения, и избегает решения каких-либо задач, за исключением нескольких задач, возникающих из трудностей его собственной терминологии. Было бы очень легко привести пример, но я не хочу наживать врагов[21][9].

 

Вторая часть

 

Все примеры и примечания этой второй части связаны с § 6 и между собой. Многие из них прямо или косвенно ссылаются на пример 21, который следует прочитать вначале.

21. Предположение Э. Мы рассматриваем равенство

 

 

как предположение; мы называем его «предположением Э». Следуя Эйлеру, мы хотим исследовать это предположение индуктивно.

Индуктивное исследование предположения включает в себя сопоставление его следствий с фактами. Мы часто будем «предсказывать, исходя из Э, и подтверждать». «Предсказание», исходя из Э» означает выведение в предположении, что Э верно. «Подтверждение означает выведение без этого предположения. Факт «находится в согласии с Э», если он (легко) может быть выведен из предположения, что Э верно.

52

В дальнейшем мы будем считать известными элементы математического анализа (которые, с формальной точки зрения, были полностью известны Эйлеру во время его открытия), включая строгое понятие предела (относительно которого Эйлер никогда не достигал полной ясности). Мы будем пользоваться только такими предельными процессами, которые могут быть оправданы (большая часть из них совсем легко), но не будем входить в детали оправданий.

22. Мы знаем, что sin (– x) = –sin x. Находится ли этот факт в согласии Э?

23. Предскажите, исходя из Э, и подтвердите значение бесконечного произведения

 

 

 

24. Предскажите, исходя из Э, и подтвердите значение бесконечного произведения

 

 

25. Сравните примеры 23 и 24 и сделайте обобщение.

26. Предскажите, исходя из Э, значение бесконечного произведения

 

 

27. Покажите, что предположение Э равносильно утверждению

 

 

28. Мы знаем, что sin (x +π) = –sin x. Находится ли этот факт в согласии с Э?

29. Метод § 6 (2) приводит к предположению

 

 

Покажите, что это не только аналог, но и следствие предположения Э.

30. Мы знаем, что

 

 

Находится ли этот факт в согласии с Э?

 

31. Предскажите, исходя из Э, и подтвердите значение бесконечного произведения

 

 

32. Предскажите, исходя из Э, и подтвердите значение бесконечного произведения

 

 

33. Сравните примеры 31 и 32 и сделайте обобщение.

34. Мы знаем, что cos (–x) = cos x. Находится ли этот факт в согласии с Э?

35. Мы знаем, что cos (x + π) = –cos x. Находится ли этот факт в согласии с Э?

36. Выведите из Э произведение для 1 –sin x, предположение о котором мы сделали в § 6 (4).

53

37. Выведите из Э, что

 

 

38. Выведите из Э, что

 

 

и найдите суммы бесконечных рядов, появляющихся в качестве коэффициентов в правой части.

39. Выведите из Э, что

 

 

и найдите суммы бесконечных рядов, появляющихся в качестве коэффициентов в последнем выражении.

40. Покажите, что

 

откуда получается второй вывод для суммы ряда в левой части равенства.

41. (продолжение). Попытайтесь найти третий вывод, зная, что

 

и что для n = 0, 1, 2, …

 

42. (продолжение). Попытайтесь найти четвертый вывод, зная, что

 

54

и что для n = 0, 1, 2, …

 

43. Эйлер (Opera Omnia, ser. 1, vol. 14, p. 40, 41) пользовался формулой

 

 

справедливой для 0 < x < 1, чтобы численно найти сумму ряда в левой части.

(a) Докажите эту формулу.

(b) Какое значение x наиболее выгодно для вычисления суммы ряда, стоящего в левой части?

44. Возражение и первый шаг к доказательству. Нет оснований a priori допускать, что sin x может быть разложен на линейные множители, соответствующие корням уравнения

 

sin x = 0.

 

Но если бы даже мы допустили это, остается возражение: Эйлер не доказал, что

 

0,         π,         π,      2π,       –2π,     3π,       –3π, …

 

все корни этого уравнения. Мы можем убедиться (рассматривая кривую y = sin x), что нет других действительных корней, однако Эйлер никоим образом не исключил возможность существования комплексных корней.

Это возражение было выдвинуто Даниилом Бернулли (сыном Иоганна, 1700—1788). Эйлер ответил на это рассмотрением

 

где

есть многочлен (степени n, если n нечетное).

Покажите, что Pn не имеет комплексных корней.

45. Второй шаг к доказательству. Предполагая, что n в примере 44 нечетно, разложите Pn(x)/x на множители так, чтобы его k-й множитель для каждого фиксированного k (k = 1, 2, 3, …) приближался к

 

когда n стремится к ∞

46. Опасности аналогии. Коротко говоря, аналогия между конечным и бесконечным привела Эйлера к великому открытия. Однако его путь проходил по самому краю возможной ошибки. Вот пример, показывающий опасность в задаче меньшего масштаба.

Ряд

 

 

сходится. Его сумма l грубо может быть оценена с помощью первых двух

55

членов:

Теперь,

 

В этом ряде существует всего один член с данным четным знаменателем (он отрицателен), но два члена сданным нечетным знаменателем (один положительный, а другой отрицательный). Соединим вместе члены с одним и тем же нечетным знаменателем

 

 

Но 2l l потому, что l ≠ 0. Где ошибка и как можно предохранять себя от ее повторения?

III. ИНДУКЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

В самой математике главные средства достигнуть истины — индукция и аналогия. — Лаплас[22]

 

1. Многогранники. «Сложный многогранник имеет много граней, углов и ребер». Какое-нибудь туманное замечание такого рода легко приходит в голову почти всякому, кто имел какое-либо соприкосновение с пространственной геометрией. Не так много людей, однако, захотят сделать серьезное усилие, чтобы углубиться в это замечание и отыскать за ним какую-нибудь более точную информацию. Правильно было бы ясно различить участвующие величины и задать какой-нибудь определенный вопрос. Обозначим поэтому число граней, число вершин и число ребер многогранника соответственно через Г, В и Р (начальные буквы соответствующих слов) и поставим такой четкий вопрос: «Всегда ли верно, что число граней возрастает, когда возрастает число вершин? Непременно ли Г возрастает вместе с В

Для начала мы едва ли можем сделать что-либо лучшее, чем исследовать примеры, конкретные многогранники. Так, для куба (тело I на рис. 3.1)

 

Г = 6, В = 8, Р = 12.

 

Или для призмы с треугольным основанием (тело II на рис. 3.1)

 

Г = 5, В = 6, Р = 92.

 

Раз уж мы выбрали такой путь, нам, естественно, нужно просмотреть и сравнить различные тела, например, те, которые показаны на рис. 3.1. Именно, помимо уже упомянутых I и II, здесь изображены следующие тела:  призма с пятиугольным основанием (III), пирамиды с квадратным, треугольным и пятиугольным основаниями (IV, V, VI), октаэдр (VII), «башня с крышей» (VIII, пирамида, поставленная на верхнюю грань куба как на основание) и «усеченный куб» (IX). Сделаем маленькое усилие воображения и представим себе эти тела одно за другим достаточно ясно, чтобы сосчитать грани, вершины и ребра. Найденные числа записаны в следующей таблице:

57

Многогранники

Г

В

Р

 

 

 

 

              I.       

куб

6

8

12

           II.       

трехгранная призма

5

6

9

         III.       

пятигранная призма

7

10

15

        IV.       

четырехгранная пирамида

5

5

8

           V.       

трехгранная пирамида

4

4

6

        VI.       

пятигранная пирамида

6

6

10

      VII.       

октаэдр

8

6

12

   VIII.       

«башня»

9

9

16

        IX.       

«усеченный куб»

7

10

15

 

 

Рис. 3.1. Многогранники.

 

Наш рис 3.1 имеет некоторое поверхностное сходство с минералогической выставкой, а вышеприведенная таблица до некоторой степени сходна с записной книжкой, в которую физик вносит результаты своих экспериментов. Мы исследуем и сравниваем тела и числа в нашей таблице, как минералог или физик исследовали бы свои с бо́льшим трудом собранные образцы и данные. У нас есть теперь кое-что в руках, чтобы иметь возможность ответить на наш первоначальный вопрос: «Возрастает ли В вместе с Г?» В самом деле, ответ будет «Нет»; сравнивая куб и октаэдр (I и VII), мы видим, что один имеет больше вершин, а другой больше граней.

58

Итак, наша первая попытка установить общую закономерность не удалась.

Мы можем, однако, попробовать что-нибудь другое. Возрастает ли Р вместе с Г? Или с В? Чтобы систематически ответить на эти вопросы, мы перестроим свою таблицу. Запишем наши многогранники в таком порядке, чтобы Р возрастало, когда мы последовательно читаем строки сверху вниз.

 

Многогранники

Г

В

Р

 

 

 

 

Трехгранная пирамида

4

4

6

Четырехгранная пирамида

5

5

8

Трехгранная призма

5

6

9

Пятигранная пирамида

6

6

10

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Пятигранная призма

7

10

15

«Усеченный куб»

7

10

15

«Башня»

9

9

16

 

Рассматривая наши более удобно расположенные данные, мы легко можем заметить, что никакой закономерности предполагаемого типа не существует. Когда Р возрастает от 15 до 16, В падает от 10 до 9. с другой стороны, когда мы переходим от октаэдра к пятигранной призме, Р возрастает от 12 до 15, но Г падает от 8 до 7. Ни Г, ни В не возрастают вместе с Р по отдельности; это верно, но они, по-видимому, возрастают «в совокупности». Разглядывая свою хорошо составленную таблицу, мы можем подметить, что Г и В возрастают «совместно»: сумма Г + В возрастает, когда мы читаем строки сверху вниз. А затем мы внезапно можем заметить более точную закономерность: во всей таблице

 

Г + В = Р + 2.

 

Это соотношение подтверждается во всех девяти случаях, записанных в нашей таблице. Кажется невероятным, чтобы такая упорная закономерность оказалась простым совпадением. Итак, мы пришли а предположению, что не только в наблюдавшихся нами случаях, но и в любом многограннике число граней, увеличенное на число вершин, равно числу ребер, увеличенному на два.

 

2. Первые подкрепляющие контакты. Натуралист, прошедший хорошую школу, нелегко допускает предположение. Даже если предположение кажется правдоподобным и в нескольких случаях подтвердилось, он будет в нем сомневаться и собирать новые наблюдения или придумывать новые эксперименты, чтобы его проверить.

59

Именно это можем сделать и мы. Мы собираемся исследовать и другие многогранники, подсчитать их грани, вершины и ребра и сравнить Г + В и Р + 2. эти числа могут быть равны или нет. Будет интересно выяснить, что же имеет место в действительности.

Рассматривая рис. 3.1, мы можем заметить, что уже исследовали три из правильных многогранников, куб, тетраэдр и октаэдр (I, V и VII). Исследуем оставшиеся два, икосаэдр и додекаэдр.

Икосаэдр имеет 20 граней, все они треугольники, и, таким образом, Г = 20. 20 треугольников имеют вместе 3 × 20 = 60 сторон, причем каждое ребро икосаэдра является общей стороной двух треугольников. Следовательно, число ребер равно 60/2 = 30 = Р. Аналогично мы можем найти В. Мы знаем, что вокруг каждой из вершин икосаэдра группируется по 5 его граней. 20 треугольников вместе имеют 3 × 20 = 60 углов, причем 5 углов имеют общую вершину. Следовательно, число вершин равно 60/5 = 12 = В.

Додекаэдр имеет 12 граней, все они пятиугольники, причем вокруг каждой вершины группируется по 3 пятиугольника. Отсюда, как и прежде, заключаем, что

 

 

Мы можем прибавить к нашей таблице на стр. 58 еще две строки:

 

Многогранники

Г

В

Р

Икосаэдр

20

12

30

Додекаэдр

12

20

30

 

Наше предположение, что Г + В = Р + 2, подтверждается в обоих случаях.

 

3. Еще подкрепляющие контакты. Благодаря предыдущим подтверждениям, наше предположение стало ощутимо более правдоподобным; но доказано ли оно теперь? Никоим образом. В подобной ситуации скрупулезный натуралист чувствовал бы удовлетворение успехом своего эксперимента, но продолжал бы придумывать дальнейшие эксперименты. Какой многогранник следовало бы нам испытать теперь?

Дело в том, что наше предположение к настоящему времени так хорошо подтвердилось, что подтверждение еще в одном только случае лишь немного прибавило бы к нашей уверенности, возможно, так мало, что едва ли стоило бы труда выбирать многогранник и подсчитывать его части. Не могли ли бы мы найти более стоящий путь испытания нашего предположения?

Рассматривая рис. 3.1, мы можем заметить, что все тела в верхнем ряду имеют одинаковую природу: они призмы. Точно так же все тела во втором ряду — пирамиды. Наше предположение верно

60

для трех призм и трех пирамид, изображенных на рис. 3.1; но верно ли оно для всех призм и пирамид?

Если призма имеет n боковых граней, то она имеет всего n + 2 грани, 2 n вершин и 3 n ребер. Пирамида с n боковыми гранями имеет всего n + 1 грань, n + 1 вершину и 2n ребер. Итак, мы можем добавить еще две строки к нашей таблице на стр. 58:

 

Многогранники

Г

В

Р

Пирамида с n боковыми гранями

n + 1

n + 1

2n

Призма с n боковыми гранями

n + 2

2n

3n

 

Наше предположение, утверждающее, что Г + В + Р + 2, оказалось верным не только еще для одного или двух многогранников, но для двух бесконечных серий многогранников.

 

4. Суровое испытание. Последнее замечание значительно увеличивает нашу уверенность в своем предположении, но, конечно, не доказывает его. Что же нам делать? Нужно ли продолжать испытывать дальнейшие частные случаи? Наше предположение, по-видимому, довольно хорошо выдерживает простые испытания. Поэтому нам следовало бы подвергнуть его какому-нибудь суровому, придирчивому испытанию, имеющему хорошие шансы его опровергнуть.

Взглянем снова на нашу коллекцию многогранников (рис. 3.1). Там имеются призмы (I, II, III), пирамиды (IV, V, VI), правильные многогранники (I, V, VII); но мы уже исчерпывающим образом рассмотрели все эти типы тел. Что там есть еще? Рис. 3.1 содержит также «башню» (VIII), которая получается, если к верхнему основанию куба пристроить «крышу». Здесь мы можем ощутить возможность обобщения. Возьмем вместо куба любой многогранник, выберем любую грань этого многогранника и пристроим к ней «крышу». Пусть первоначальный многогранник имел Г граней, В вершин и Р ребер и пусть выбранная его грань имеет n сторон. Мы пристраиваем к этой грани пирамиду с n боковыми гранями и таким образом получается новый многогранник. Сколько граней, вершин и ребер имеет новый многогранник «с крышей»? При этой операции одна грань (выбранная) теряется, а n новых появляются (n боковых граней пирамиды), так что новый многогранник имеет Г — 1 + n граней. Все вершины многогранника принадлежат и новому многограннику, но одна вершина (вершина пирамиды прибавляется, и, таким образом, новый многогранник имеет В + 1 вершину. Все ребра старого многогранника принадлежат и новому, но прибавляется n ребер (боковые ребра пирамиды), и, таким образом, новый многогранник имеет Р + n ребер.

Подведем итог. Первоначальный многогранник имел соответственно Г, В и Р граней, вершин и ребер, тогда как новый мно-

61

гранник с крышей имеет

 

Г + n — 1, В + 1 и Р + n

 

частей соответствующего типа. Согласуется ли это с нашим предположением?

Если выполняется соотношение Г + В = Р + 2, то, очевидно соотношение

 

(Г + n — 1) + (В + 1) = (Р + n) + 2

 

также выполняется. Иными словами, если оказывается, что наше предположение подтверждается в случае первоначального многогранника, то оно должно подтверждаться и в случае нового многогранника с «крышей». Наше предположение выдерживает «пристройку крыши», и, таким образом, оно прошло действительно очень суровое испытание. Существует неисчерпаемое разнообразие многогранников, которые можно получить из уже исследованных с помощью повторных «пристроек крыши», и мы доказали, что наше предположение для всех верно.

Кстати, последнее тело нашего рис. 3.1, «усеченный куб (IX), открывает путь для аналогичных рассмотрений. Вместо куба «усечем» любой многогранник, отсекая произвольно выбранную вершину. Пусть первоначальный многогранник имеет соответственно

 

Г, В и Р

 

Граней, вершин и ребер и пусть n — число ребер, выходящих из выбранной нами вершины. Отсекая эту вершину, мы вводим одну новую грань (имеющую n сторон), n новых ребер, а также n новых вершин, но теряем одну вершину. Подведем итог: новый, «усеченный», многогранник имеет соответственно

Г + 1, В + n — 1 и Р + n

граней, вершин и ребер. Теперь, из

Г + В = Р + 2

Следует

(Г + 1) + (В + n — 1) = (Р + n) + 2

 

т. е. наше предположение достаточно прочно для того, чтобы выдержать «усечение». Оно прошло еще одно суровое испытание.

Предыдущие замечания естественно рассматривать как очень сильный аргумент в пользу нашего предположения. Мы можем уловить в них даже нечто другое: первый намек на доказательство. Начиная с каких-либо простых многогранников, как тетраэдр или куб, для которых предположение выполняется, мы можем с помощью пристройки крыши и усечения получить огромное разнообразие других многогранников, для которых предположение также выполняется.

62

Сможем ли мы получить все многогранники? Тогда у нас было бы доказательство! Кроме того, могут существовать и другие операции, которые подобно усечению и пристройке крыши сохраняют предполагаемое соотношение.

 

5. Подтверждения и подтверждения. Процесс мышления опытного натуралиста несущественно отличается от процесса мышления обычного человека, но он более основателен. И обычного человека, и ученого к предположениям приводит несколько наблюдений, и оба они обращают внимание на позднейшие случаи, которые могли бы оказаться в согласии с предположением или нет. Случаи, находящиеся в согласии, делают предположение более вероятным, противоречащие случаи его опровергают, и здесь начинается отличие: обыкновенные люди обычно более склонны разыскивать случаи первого типа, а ученый — случаи второго типа. Причина этого состоит в том, что каждый человек имеет некоторую долю самомнения — как обычный человек, так и ученый, — но разные люди ценят в себе разные качества. М-р Кто-нибудь не любит признаваться даже самому себе, что он ошибся, и поэтому ему не нравятся противоречащие случаи, он их избегает, он даже склонен, когда они встречаются, находить им такое объяснение, из которого бы вытекало, что они предположению не противоречат. Ученый, наоборот, вполне готов признать ошибочное предположение, но он не любит оставлять вопросы нерешенными. И вот случай, находящийся в согласии, вопрос не разрешает, а противоречащий случай разрешает. Ученый, старающийся найти окончательное решение, разыскивает случаи, которые могли бы опровергнуть предположение, и чем больше эта возможность, тем они ему приятнее. Следует отметить важный момент. Если случай, грозивший опровергнуть предположение, в конце концов оказался с ним в согласии, то предположение выходит из испытания значительно окрепшим. Чем больше опасность, тем больше чести; прохождение через наиболее серьезное испытание дает наиболее высокое признание, наиболее сильное экспериментальное подтверждение предположения. Имеются примеры и примеры, подтверждения и подтверждения. Пример, который с большой вероятностью способен опровергнуть предположение, во всяком случае подводит предположение ближе к решению, чем пример, делающий это с меньшей вероятностью и это объясняет предпочтение ученого[10].

Теперь мы можем заняться нашей собственной конкретной задачей и посмотреть, как применить предыдущие замечания к «экспериментальному исследованию многогранников», которые мы предприняли. Каждый новый случай, в котором подтверждается соотношение Г + В = Р + 2, увеличивает уверенность, что это соотношение верно вообще. Однако мы уже устали от однообразной последовательности подтверждений. Случай, мало отличающийся от ранее исследованных

63

случаев, если он находится в согласии с предположением, конечно, увеличивает нашу уверенность, но увеличивает мало. Действительно, мы легко поверим до испытания, что рассматриваемый случай будет вести себя так же, как и предыдущие случаи, от которых он отличается лишь немногим. Мы хотим не только другого подтверждения, но _подтверждения другого типа. В самом деле, вновь просматривая различные фазы нашего исследования (§§ 2, 3 и 4), мы можем заметить, что каждая из них давала такой тип подтверждения, который существенно превосходил полученные ранее. В каждой фазе предположение подтверждалось для более обширного многообразия случаев, чем в предыдущей.

 

6. Совсем не похожий случай.

 

Рис. 3.2. Баранкообразный многогранник.

 

Поскольку важно разнообразие, поищем какой-нибудь многогранник, совсем не похожий на те, которые мы исследовали до сих пор. Так мы можем напасть на мысль рассмотреть в качестве многогранника раму для картины. Возьмем очень длинный треугольный стержень, отрежем от него четыре куска, приладим эти куски в концах и соединим их в рамообразный многогранник. На рис 3.2 рама положена на стол так, что все ребра, которые уже были на неразрезанном стержне, лежат горизонтально. Имеется 4 раза по 3, т. е. 12 горизонтальных ребер, и также 4 раза по 3 негоризонтальных ребра[11], так что общее число ребер равно Р = 12 + 12 + 24. сосчитав грани и вершины, находим, что Г = 4 × 3 = 12 и В = 4 × 3 = 12. Теперь сумма Г + В = 24 отлична от суммы Р + 2 = 26. Наше предположение, взятое в полной общности, оказалось неверным!

Мы можем, конечно, сказать, что не намеревались установить предположение в такой общности, что мы все время имели в виду многогранники выпуклые, или, так сказать, «сферообразные» а не «баранкообразные», как рама для картины. Но это отговорки. Фактически мы должны изменить свою позицию, а с нею и свое первоначальное утверждение. Вполне возможно, что удар, который мы получили, в конце концов окажется благотворным и приведет в конечном счете к исправленной и более точной формулировке нашего предположения. Но как бы то ни было, это был удар по нашей уверенности.

 

7. Аналогия. Пример «рамы для картины» убил наше предположение в его первоначальной форме, но оно может быть немедленно возрождено в исправленной (и, будем надеяться, улучшенной) форме, с важным ограничением.

64

Тетраэдр является выпуклым телом, и таким же является куб, и такими же являются другие многогранники в нашей коллекции (рис. 3.1), и такими же являются все многогранники, которые мы можем из них получить с помощью усечения и «умеренной» пристройки крыш (пристройки достаточно ровных крыш к их различным граням). Во всяком случае, не существует опасности, что эти операции могли бы от выпуклого, или «сферообразного» многогранника привести к «баранкообразному» телу.

Замечая это, мы вводим уточнение, которое здесь очень нужно. Мы высказываем предположение, что для любого выпуклого многогранника между числами граней, вершин и ребер имеет место соотношение Г + В = Р + 2. (Можно было бы даже предпочесть ограничиться «сферообразными» многогранниками, но мы не хотим здесь останавливаться на определении значения этого термина.)

Это предположение имеет некоторые шансы быть верным. Тем не менее наша уверенность была поколеблена и мы хотели бы найти какое-нибудь новое подкрепление для своего предложения. Мы не можем надеяться на большую помощь от дальнейших подтверждений. Кажется, что мы исчерпали наиболее очевидные источники. Однако мы можем еще надеяться на некоторую помощь от аналогии. Существует ли какой-нибудь более простой аналогичный случай, который мог бы оказаться поучительным?

Многоугольники аналогичны многогранникам. Многоугольник есть часть плоскости, как многогранник — часть пространства. Многоугольник имеет некоторое число В вершин (вершин его углов) и некоторое число Р ребер (или сторон). Очевидно,

 

В = Р.

 

Однако это соотношение, справедливое для выпуклых многоугольников, кажется слишком простым и проливает мало света на более сложное соотношение

 

Г + В = Р + 2,

 

которое, как мы подозреваем, справедливо для выпуклых многоугольников.

 

Если мы по-настоящему заинтересованы рассматриваемым вопросом, то мы, естественно, пытаемся подвести эти соотношения  поближе друг к другу. Существует остроумный способ, позволяющий сделать это. Сначала нужно расположить рассматриваемые числа в естественном порядке. Многогранник трехмерен, его грани (многоугольники) двумерны, его ребра одномерны и его вершины (точки), конечно, нульмерны. Мы можем теперь переписать наши равенства, располагая величины в порядке возрастания размерности. Соотношение для многоугольников, написанное в виде

 

ВР + 1 = 1,

65

становится сравнимым с соотношением для многогранников, записанным в виде

 

ВР + Г — 1 = 1.

 

Единица в левой части равенства для многоугольников соответствует единственному имеющемуся двумерному элементу — внутренности многоугольника. Единица в левой части равенства для многогранников соответствует единственному имеющемуся трехмерному элементу — внутренности многогранника. Числа в левой части равенства, подсчитывающие соответственно элементы нульмерные, одномерные, двумерные и трехмерные, расположены в своем естественном порядке и имеют чередующиеся знаки. Правая часть равенства в обоих случаях одинакова; аналогия кажется полной. Поскольку первое равенство для многоугольников, очевидно, верно, то аналогия увеличивает нашу уверенность во втором равенстве для многогранников, предположение о котором мы сделали.

 

8. Разбиение пространства. Мы переходим теперь к другому примеру индуктивного исследования в пространственной геометрии. В своем предыдущем примере мы отправлялись от общего, до некоторой степени туманного, замечания. Нашей отправной точкой теперь будет конкретная, имеющая ясные очертания задача. Рассмотрим простую, но не слишком знакомую задачу пространственной геометрии: На сколько частей пространство делится пятью плоскостями?

На этот вопрос легко ответить, если пять данных плоскостей параллельны между собой; в этом случае пространство, очевидно, делится на 6 частей. Этот случай, однако, является слишком специальным. Если наши плоскости находятся в «общем положении», то никакие две из них не будут параллельны и будет иметься значительно больше частей, чем 6. нашу задачу нужно сформулировать более точно, добавив существенный пункт: _На сколько частей пространство делится пятью плоскостями при условии, что эти плоскости находятся в общем положении?

Идея «общего положения» интуитивно совершенно понятна; плоскости находятся в таком положении, когда они не связаны специальными соотношениями, когда они заданы независимо, выбраны наугад. Было бы нетрудно сделать этот термин совершенно точным с помощью формального определения, но мы этого не будем делать по двум причинам. Во-первых, изложение не должно быть слишком формальным. Во-вторых, оставляя понятие несколько неясным, мы ближе подходим к позиции натуралиста, которыйф часто вынужден начинать с не совсем ясных понятий, но уточняет их по мере продвижения.

66

9. Видоизменение задачи. Сосредоточим внимание на нашей задаче. Нам даны 5 плоскостей в общем положении. Они разрезают пространство на определенное число частей. (Мы можем представить себе сыр, рассеченный на куски пятью прямолинейными разрезами острого ножа.) Нам нужно найти число этих частей. (На сколько частей разрезается сыр?)

Кажется трудным сразу увидеть все части, на которые пространство разбивается пятью плоскостями. (Может быть, невозможно их «увидеть». Как бы то ни было, не перенапрягайте своего воображения[12], лучше попытайтесь думать. Ваш разум может повести вас дальше, чем ваше воображение[13].) Но почему именно пять плоскостей? Почему не любое число плоскостей? На сколько частей пространство делится четырьмя плоскостями? Тремя плоскостями? Или двумя плоскостями? Или всего лишь одной плоскостью. Мы подошли здесь к случаям,доступным нашей геометрической интуиции. Одна плоскость, очевидно, делит пространство на 2 части. Две плоскости, если они параллельны, делят пространство на 3 части. Мы должны, однако, отбросить это специальное расположение; 2 плоскости, находящиеся в общем положении, пересекаются и делят пространство на 4 части. Три плоскости, находящиеся в общем положении, делят пространство на 8 частей. Чтобы ясно понять этот последний, более трудный, случай, можно представить себе две вертикальные стены внутри здания, пересекающие одна другую, и горизонтальное перекрытие, поддерживаемое палками, пересекающее обе стены и образующее вокруг точки, где оно пересекается со стенами, одновременно пол четырех комнат и потолок других четырех комнат.

 

10. Обобщение, специализация, аналогия. Наша задача относится к 5 плоскостям, но вместо того, чтобы рассматривать 5 плоскостей, сначала мы занялись 1, 2 и 3 плоскостями. Не потратили ли мы свое время зря? Совсем нет. Исследуя более простые аналогичные случаи, мы готовились к  нашей задаче. Мы пробовали свои силы на этих более простых случаях; мы выяснили необходимые понятия и познакомились с тем типом задач, с которым должны встретиться.

Даже путь, который привел нас к этим более простым аналогичным задачам, типичен и заслуживает внимания. Сначала мы перешли от случай 5 плоскостей к случаю любого числа плоскостей, скажем, n плоскостей: мы произвели обобщение. Затем от n плоскостей мы вернулись к 4 плоскостям, к 3 плоскостям, к 2 плоскостям, к всего лишь одной плоскости, т. е. в общей задаче мы положили n = 4, 3, 2, 1: мы произвели специализацию. Но задача о делении пространства, скажем, тремя плоскостями аналогична нашему первоначальному вопросу относительно пяти плоскостей. Итак, мы пришли к аналогии обычным путем, вступительным обобщением и последующей специализацией.

67

11. Одна аналогичная задача. Как обстоит дело со следующим случаем четырех плоскостей?

Четыре плоскости, находящиеся в общем положении. Определяют различные части пространства, одна из которых ограничена, заключена между четырьмя треугольными гранями и называется тетраэдром (см. рис 3.3). Эта конфигурация напоминает нам три прямые линии на плоскости, находящиеся в общем положении и определяющие различные части плоскости, одна из которых ограничена, заключена между тремя прямолинейными отрезками и является треугольником (см. рис. 3.4). Нам нужно установить число частей пространства, определяемых четырьмя плоскостями. Попробуем свои силы на более простой аналогичной задаче: На сколько частей плоскость делится тремя прямыми? Многие из нас увидят ответ немедленно, даже не вычерчивая фигуры, и каждый может его увидеть, пользуясь грубым наброском (см. рис 3.4). Искомое число частей равно 7.

 

Рис. 3.3 Пространство, разделенное четырьмя плоскостями.

Рис. 3.4. Плоскость, разделенная тремя прямыми.

 

Мы нашли решение более простой аналогичной задачи; но можем ли мы воспользоваться этим решением для своей первоначальной задачи? Да, можем, если будем разумно обращаться с аналогией двух конфигураций. Нам следует так подойти к разбиению плоскости тремя прямыми, чтобы после этого мы смогли тот же самый подход применить к разбиению пространства четырьмя плоскостями.

Итак, посмотрим снова на разбиение плоскости тремя прямыми, ограничивающими треугольник. Одна часть конечна — это внутренность треугольника. А бесконечные части имеют с треугольником или общую сторону (имеются три такие части) или общую вершину (имеются также три части этого типа) Таким образом, число всех частей равно 1 + 3 + 3 = 7.

68

Теперь рассмотрим разбиение пространства четырьмя плоскостями, ограничивающими тетраэдр. Одна часть конечна, это внутренность тетраэдра. Бесконечная часть может иметь общую грань (двумерный элемент границы) с тетраэдром (имеются 4 такие части) или общее ребро (одномерный элемент границы; имеются 6 частей этого типа) или общую вершину (нульмерный элемент границы; имеются 4 части этого типа, показанные на рис. 3.3). Таким образом, число всех частей равно 1 + 4+ 6 + 4 = 15.

Мы пришли к этому результату с помощью аналогии и воспользовались аналогией типичным, важным способом. Сначала мы придумали более легкую аналогичную задачу и решили ее. Затем, чтобы решить первоначальную более трудную задачу (о тетраэдре), мы воспользовались новой более легкой аналогичной задачей (о треугольнике) как моделью; при решении более трудной задачи мы следовали образцу решения более легкой задачи. Но прежде чем сделать это, мы должны были пересмотреть решение более легкой задачи. Мы перестроили его, переделали в новый образец, пригодный для подражания.

Выделить аналогичную более легкую задачу, решить ее, переделать ее решение так, чтобы оно могло служить в качестве модели, и наконец добиться решения первоначальной задачи, следуя только что созданной модели, — этот метод непосвященному может казаться окольным. Но он часто применяется в математических и нематематических научных исследованиях.

 

12. Серия аналогичных задач. Однако наша первоначальная задача все еще не решена. Она относится к разбиению пространства пятью плоскостями. Какова аналогичная задача для двух измерений? Разбиение пятью прямыми? Или четырьмя прямыми? Для нас лучше, быть может, рассмотреть эти задачи в полной общности: разбиение пространства n плоскостями и разбиение плоскости n прямыми. Эти разбивающие прямые должны, конечно, находиться в общем положении (никакие 2 не параллельны и никакие 3 не имеют общей точки).

Если мы привыкли пользоваться геометрической аналогией, то можем сделать еще один шаг и рассмотреть деление прямой линии n общими точками. Хотя эта задача совсем тривиальна, она может оказаться поучительной. Мы легко видим, что прямая делится одной точкой на две части, двумя точками на 3, тремя точками на 4 и вообще n точками на n + 1 частей.

Опять-таки, если мы привыкли обращать внимание на крайние случаи, то можем рассмотреть неразделенное пространство, плоскость или прямую и считать его «разбиением, осуществленным 0 разбивающих элементов».

Составим следующую таблицу, исчерпывающую все наши результаты полученные до сих пор

 

Число делящих элементов

Число частей при делении

пространства
плоскостями

плоскости
прямыми

прямой
точками

0

1

2

3

4

n

1

2

4

8

15

1

2

4

7

 

1

2

3

4

5

n+1

 

13. Много задач иногда легче решить, чем только одну. Мы собирались решить задачу, относящуюся к разбиению пространства пять плоскостями. Мы ее еще не решили, но поставили много новых задач. Каждое незаполненное в нашей таблице место соответствует открытому вопросу.

Этот прием накопления новых задач непосвященному может показаться глупым. Но некоторый опыт в решении задач может научить нас, что много задач вместе иногда решить легче, чем всего лишь одну из них, если это большое число задач хорошо согласовано, а одна задача сама по себе изолирована[14]. Наша первоначальная задача выступает теперь в качестве одной из задач в серии нерешенных задач. Но дело в том, что все эти нерешенные задачи образуют серию: они хорошо расположены, сгруппированы вместе, находятся в тесной аналогии между собой и с несколькими уже решенными задачами. Если мы сравним теперешнее положение нашего вопроса, хорошо включенного в серию аналогичных вопросов, с его исходным положением, когда он был еще полностью изолирован, то мы, естественно, будем склонны поверить, что было сделано некоторое продвижение.

 

14. Предположение. Посмотрим на результаты, представленные в нашей таблице, как натуралист смотрит на коллекцию своих образцов. Эта таблица бросает вызов нашей изобретательности. Нашей способности наблюдать. Сумеем ли мы обнаружить какую-нибудь связь, какую-нибудь закономерность?

Рассматривая второй столбец (деление пространства плоскостями), мы можем заметить, что в последовательности 1, 2, 4, 8, … имеется ясная закономерность; мы видим здесь последовательные степени числа 2. Но что за разочарование! Следующий член в этом столбце 15, а не 16, как мы ожидали. Наша догадка была не так уж хороша; нужно поискать что-нибудь другое.

В конечном счете мы можем случайно наткнуться на сложение двух рядом расположенных чисел и заметить, что в таблице имеется их сумма. Мы подмечаем своеобразную связь: число из таблицы мы

70

получаем, складывая два других числа: число, расположенное над ним и число, находящееся справа от последнего. Например, числа

 

8

7

15

 

 

связаны соотношением

 

8 + 7 = 15

 

Это замечательная связь, поразительный ключ. Кажется невероятным, чтобы эта связь, которую мы можем наблюдать во всей таблице, так далеко вычисленной, могла быть результатом простой случайности.

Итак, эта ситуация наводит на мысль, что замеченная закономерность распространяется и за пределы наших наблюдений, что еще не найденные числа таблицы связаны в точности так же, как и уже вычисленные. И, таким образом, мы приходим к предположению, что закон, на который мы наткнулись случайно, справедлив всегда.

Если это так, то мы можем решить свою первоначальную задачу. Складывая расположенные рядом числа, мы можем продолжить нашу таблицу до тех пор, пока не достигнем числа которое хотим получить:

 

0

1

1

1

1

2

2

2

2

4

4

3

3

8

7

4

4

15

11

5

5

26

 

 

 

В таблице, как она здесь перепечатана, появились два новых числа, набранных жирным шрифтом и вычисленных путем сложения, 11 = 7 + 4, 26 = 15 + 11. Если наша догадка правильна, то число частей, на которые пространство разбивается пятью плоскостями, находящимися в общем положении, должно равняться 26. кажется, мы решили предложенную задачу, или по крайней мере нам удалось уловить правдоподобное предположение, подкрепляемое всеми до сих пор собранными наблюдениями.

 

15. Предсказание и подтверждение. В предыдущем мы в точности следовали типичному образу действий натуралиста. Если натуралист наблюдает поразительную закономерность, которая не может быть разумно приписана простой случайности, то он делает предположение, что эта закономерность продолжается и за пределами его фактических наблюдений. Принятие такого предположения часто является решающим шагом в индуктивном исследовании[15].

Следующим шагом может быть предсказание. На основании своих ранее сделанных наблюдений и их согласия с предполагаемым зако-

71

ном натуралист предсказывает результат своего следующего наблюдения. Многое зависит от исхода этого следующего наблюдения. Окажется ли предсказание верным или нет? Мы находимся точно в таком же положении. Мы нашли, или, точнее, догадались или предсказали, что число областей, на которые плоскость разбивается четырьмя прямыми, находящимися в общем положении, равно 11. Так ли это? Правильно ли наше предположение?

 

 

Рис. 3.5. Плоскость, разделенная четырьмя прямыми.

 

Исследуя грубый набросок (см. рис 3.5), мы убедимся, что наша догадка была хорошей, что число 11 действительно есть правильное число. Это подтверждение нашего предсказания дает индуктивные доводы в пользу правила, на основании которого мы сделали свое предсказание. Успешно выдержав испытание, наше предположение вышло из него окрепшим.

 

16. Снова и лучше. Мы убедились, что число 11 верно, рассматривая фигуру и подсчитывая число частей. Да, 4 прямые, находящиеся в общем положении, по-видимому, делят плоскость на 11 частей. Но проделаем это снова и проделаем лучше. Мы подсчитали эти части каким-то образом. Подсчитаем их снова и подсчитаем так, чтобы быть уверенными в том, что избежали путаницы и ошибок, и ловушек, расставленных специальными положениями прямых.

Начнем с того факта, что 3 прямые определяют точно 7 частей плоскости. Мы имеем некоторые основания верить, что 4 прямые определяют 11 частей. Почему ровно на 4 части больше? Почему в этой связи появляется число 4? Почему проведение новой прямой увеличивает число частей ровно на четыре?

 

Рис. 3.6. Переход от трех прямых к четырем.

 

Выделим на рис 3.5 одну прямую и перечертим ее пунктиром (см. рис. 3.6). Новая фигура не слишком отличается от старой по виду, но она выражает совсем другой подход. Мы рассматриваем выделенную прямую как новую, а три другие прямые как старые. Старые прямые рассекают плоскость на 7 частей. Что происходит, когда добавляется новая прямая?

Новая прямая, начерченная наугад, должна пересекать каждую старую прямую и притом в разных точках. Это дает 3 точки. Эти

72

3 точки делят новую прямую на 4 отрезка. Каждый отрезок разрезает старую часть плоскости, делает две новых части[16] из одной старой. Вместе 4 отрезка новой прямой создают 8 новый частей и упраздняют 4 старые части — число частей возрастает ровно на 4. вот причина того, что число частей теперь ровно на четыре больше, чем оно  было раньше:

 

7 + 4 = 11.

 

Этот путь получения числа 11 убедителен и ярко освещает рассматриваемую задачу. Мы можем усмотреть теперь основание для закономерности, которую мы наблюдали и на которой основывали свое предсказание этого числа 11. мы начинаем подозревать, какое объяснение скрывается за фактами, и наша вера в то, что наблюдаемая закономерность всегда справедлива, чрезвычайно усилилась.

 

17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство. Мы все время тщательно указывали на параллелизм между нашими рассуждениями и образом действий натуралиста[17]. Мы начали с частной задачи, как натуралист может начать со ставящего в тупик наблюдения[18]. Мы продвигались вперед с помощью пробных обобщений, отмечая доступные частные случаи, наблюдая поучительные аналогии. Мы попытались угадать некоторую закономерность и ошиблись, попытались снова и сделали это лучше. Нам удалось предложить общий закон, который подкреплялся всеми экспериментальными данными, бывшими в нашем распоряжении. Мы подвергли испытанию еще один частный случай и нашли согласие с предполагаемым законом, авторитет которого выиграл от такого подтверждения. Наконец, мы заметили основание для этого общего закона, своего рода объяснение и наша вера значительно усилилась. Исследование натуралиста может проходить в точности через те же самые фазы.

Существует, однако, место, где дороги математика и натуралиста резко расходятся. Наблюдение является высшим авторитетом для натуралиста[19], но не для математика. Подтверждение во многих хорошо выбранных примерах есть единственный способ подкрепления предполагаемого закона в естественных науках. Подтверждение во многих хорошо выбранных примерах может быть очень полезно в качестве поощрения. Но никогда не может доказать предполагаемый закон в математических науках[20]. Рассмотрим наш собственный конкретный случай. Исследование различных частных случаев и сравнение их привело нас к предположению об общем правиле, из которого следует, что решением нашей первоначально предложенной задачи является число 26. достаточны ли все наши наблюдения и подтверждения для доказательства этого общего правила? Или могут ли они доказать частный результат, что решением нашей задачи действительно является 26? Ни в малейшей степени. Для математика с жесткими

73

стандартами число 26 есть только определенная догадка, и подозреваемое общее правило не может быть доказано никаким количеством экспериментальных подтверждений. Индукция делает свои результаты вероятными, она никогда их не доказывает[21].

Можно, однако, заметить, что индуктивное исследование может быть в математике полезно в другом отношении, о котором мы еще не упоминали. Тщательное наблюдение частных случаев, которые приводят нас к общему математическому результату, может также подсказать его доказательство. Из внимательного исследования частного случая может возникнуть общее понимание.

В самом деле, это действительно произошло с нами уже в предыдущем параграфе. Общее правило, которое мы открыли с помощью индукции, относится к двум расположенным рядом числам в нашей таблице, как, напри мер, 7 и 4, и к их сумме, которая в этом случае равна 11. Далее, в предыдущем параграф мы яно увидели геометрическое значение чисел 7, 4 и 11 в нашей задаче и при этом поняли, почему там возникает соотношение 7 + 4 = 11. Мы фактически имели дело с переходом от 3 прямых, делящих плоскость, к 4 таким прямым. Однако в числах 3 и 4 нет никаких особых достоинств; точно так же мы могли бы перейти от любого целого числа к следующему, от n к n + 1. Рассмотренный частный случай может представлять нам всю ситуацию (пример 2.10). Я предоставляю читателю удовольствие полностью извлечь общую идею из частного наблюдения предыдущего параграфа. При этом он может дать формальное доказательство для индуктивно открытого правила, по крайней мере насколько это относится к двум последним столбцам.

Все же, чтобы завершить доказательство, мы должны не только рассмотреть разбиение плоскости прямыми, но и разбиение пространства плоскостями. Мы можем, однако, надеяться, что если мы в состоянии разобраться с разбиениями плоскости, то аналогия поможет нам разобраться и с разбиениями пространства. Снова я предоставляю читателю удовольствие извлечь пользу из совета, который дает аналогия.

 

18. Еще предположения. Мы не исчерпали еще тему о разбиениях плоскости и пространства. Осталось еще сделать несколько маленьких открытий, и они вполне доступны индуктивным рассуждениям. Нас легко может привести к ним тщательное наблюдение и сделанное с пониманием сопоставление частных примеров.

Мы можем пожелать найти формулу для числа частей, образуемых при разбиении плоскости n прямыми, находящимися в общем положении. Фактически у нас уже есть формула в простейшем аналогичном случае: n различных точек делят прямую на n + 1 отрезков. Эта аналогичная формула, частные случаи, записанные в нашей таблице, наше индуктивно открытое общее правило (которое мы почти доказали), все наши результаты, полученные до сих пор, могут помочь

74

нам решить эту задачу. Я не вхожу в детали. Я просто отмечу решение, которое можно найти, следуя только что сделанным намекам, разными способами.

Число частей, на которые прямая делится n различными точками, равно n + 1. Число частей, на которые плоскость делится n прямыми, находящимися в общем положении, равно

Читатель может вывести последнюю формулу или по крайней мере проверить ее в простейших случаях, для n = 0, 1, 2, 3, 4. Я также предоставляю читателю удовольствие открыть третью формулу того же типа для числа частей пространства. Делая это маленькое открытие, читатель может расширить свой опыт индуктивных рассуждений в математических вопросах и почувствовать ту приятную помощь, которую оказывает нам аналогия при решении задач, больших или малых.

 

ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ III

 

Формула Г + В = Р + 2, предположение о которой мы высказали в § 1, принадлежит Леонарду Эйлеру. Мы называем ее «формулой Эйлера», рассматриваем как предположение и исследуем различными способами в примерах 1—10, иногда индуктивно, а иногда с целью найти доказательство. Мы возвращаемся к ней в примерах 21—30 и 31—41. Перед тем как приняться за какой-нибудь пример в этих разделах, прочтите соответственно примеры 21 и 31.

1. Две пирамиды, расположенные по разные стороны от их общего основания, вместе образуют «двойную пирамиду». Октаэдр есть частный случай двойной пирамиды; общее основание — квадрат. Имеет ли место формула Эйлера для произвольной двойной пирамиды?

2. Возьмите выпуклый многогранник с Г гранями, В вершинами и Р ребрами, выберите внутри него точку О (например, его центр тяжести), опишите шар с центром О и спроектируйте многогранник из центра О на поверхность шара. Эта проекция переводит Г граней в Г областей, или «стран» на поверхности шара, любое из ребер она переводит в граничную линию, разделяющую две соседние страны, и любую из В вершин — в «угол» или общую границу трех или более стран («угол трех стран» или «угол четырех стран» и т. д.). эта проекция дает граничные линии особенно простой природы (дуги больших кругов), но, очевидно, справедливость формулы Эйлера для такого подразделения поверхности шара на страны не зависит от точной формы граничных линий; на числа Г, В и Р не оказывает влияния непрерывная деформация этих линий.

(1) Меридиан есть половина окружности большого круга, соединяющая два полюса, южный и северный. Параллель есть пересечение поверхности шара с плоскостью, параллельной экватору. Поверхность шара делится m меридианами и p параллелями на Г стран. Вычислите Г, В и Р. Имеет ли место формула Эйлера?

(2) Проекция октаэдра из его центра на поверхность шара является частным случаем ситуации, описанной в (1). Для каких значений m и p?

3. Случай играет некоторую роль в открытии. Индуктивное открытие, очевидно, зависит от наблюдаемого материала. В § 1 мы встретились с несколькими многогранниками, но случайно могли бы натолкнуться и на другие. Вероятно, мы не пропустили бы правильные многогранники, но наш перечень мог бы появиться в таком виде:

75

Многогранники

Г

В

Р

Тетраэдр

4

4

6

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Пятигранная призма

7

10

15

Пятигранная двойная призма

10

7

15

Додекаэдр

12

20

30

Икосаэдр

20

12

30

 

Наблюдаете ли вы какую-нибудь закономерность? Можете ли вы ее объяснить? Какова связь с формулой Эйлера?

4. Попытайтесь обобщить соотношение между двумя многогранниками, наблюдаемое в таблице примера 3. [Соотношение, описанное в решении примера 3 в (2), слишком «узко» и «детально». Возьмите, однако, куб и октаэдр в описанной там ситуации, окрасьте ребра одного красной, а другого — синей краской и спроектируйте их из их общего центра Р на поверхность шара, как описано в примере 2. затем сделайте обобщение.]

5. Было бы достаточно доказать формулу Эйлера в частном случае: для выпуклых многогранников, имеющих только трехгранные вершины. Почему? [§ 4.]

6. Было достаточно доказать формулу Эйлера в частном случае: для выпуклых многогранников, имеющих только трехгранные вершины. Почему? [§ 4.]

7. При доказательстве формулы Эйлера мы можем ограничиться плоскими фигурами. Действительно, представьте себе, что Г — 1 граней многогранника сделаны из картона, а одна грань из стекла; назовем эту грань «окном». Вы смотрите через окно внутрь многогранника, причем ваши глаза находятся так близко к окну, что вам видна вся внутренность многогранника. (Это может оказаться неосуществимым, если многогранник не является выпуклым.) То, что вы видите, вы можете интерпретировать как плоскую фигуру, начерченную на оконном стекле: вы видите подразделение окна на более мелкие многоугольники. В этом подразделении имеется N2 многоугольников, N1 прямых граничных лини (некоторые внешние, некоторые внутренние) и N0 вершин.

(1) Выразите N0, N1 и N2 через Г, В и Р.

(2) Если для Г, В и Р имеет место формула Эйлера, то какая формула имеет место для N0, N1 и N2?

8. Прямоугольник имеет l см в длину и m см в ширину; l и m — целые числа. Прямоугольник подразделяется на lm равных квадратов прямыми, параллельными его сторонам.

(1) Выразите N0, N1 и N2 через Г, В и Р.

(2) Справедливо ли соотношение примера 7 (2) в этом случае?

9. Примеры 5 и 7 наводят на мысль, что нам нужно было бы исследовать подразделение треугольника на N2 треугольников с N0 — 3 вершинами внутри подразделяемого треугольника. Вычисляя суммы всех углов в этих N2 треугольниках двумя различными способами, вы можете доказать формулу Эйлера.

10. § 7 наводит на мысль распространить формулу Эйлера на случай четырех и большего числа измерений. Как мы могли бы сделать такое распространение осязаемым? Как можно было бы ясно его себе представить?

Пример 7 показывает, что случай многогранника может быть сведен к подразделению плоского многоугольника. Аналогия подсказывает, что случай четырех измерений можно свести к подразделению многогранника в нашем видимом трехмерном пространстве. Если мы хотим действовать индуктивно, то должны исследовать какие-нибудь примеры такого подразделения. По аналогии с примером 8 возникает следующий пример.

Ящик (т. е. прямоугольный параллелепипед) имеет измерения l, m и n; эти три числа целые. Ящик подразделяется lmn равных кубов плоскостями, параллельными его граням. пусть N0, N1 и N2 обозначают соответственно число вершин, ребер, граней и многогранников (кубов), образующих подразделение.

76

(1) Выразите N0, N1 и N2 через l, m и n.

(2) Существует ли соотношение, аналогичное равенству (2) в решении примера 7?

11. Пусть Ln обозначает число частей, на которые плоскость делится n прямыми линиями, находящимися в общем положении. Докажите, что Ln+1 = Ln + (n +1).

12. Пусть Sn обозначает число частей, на которые пространство делится n плоскостями в общем положении. Докажите, что Sn+1 = Sn + Ln.

13. Проверьте предполагаемую формулу

для n = 0, 1, 2, 3, 4.

14. Догадайтесь, какова должна быть формула дляSn, и убедитесь, что она верна для n = 0, 1, 2, 3, 4.

15. Сколько частей из тех 11, на которые плоскость делится четырьмя прямыми, находящимися в общем положении, являются конечными? [Сколько бесконечными?]

16. Обобщите предыдущую задачу?

17. Сколько частей из тех 26, на которые пространство делится пятью плоскостями, являются бесконечными?

18. Пять плоскостей проходят через центр шара, но в других отношениях их положение является общим. Найдите число частей, на которые поверхность шара делится этими пятью плоскостями.

19. На сколько частей делится плоскость пятью попарно пересекающимися окружностями, находящимися в общем положении?[22]

20. Обобщите предыдущие задачи.

21. _Индукция: приспособление ума, приспособление языка. Индукция имеет результатом приспособление нашего ума к фактам. Когда мы сравниваем наши идеи с наблюдениями, то может иметь место согласие или несогласие. Если имеет место согласие, то мы чувствуем бо́льшую уверенность в своих идеях; если имеет место несогласие, то мы видоизменяем свои идеи. После повторных видоизменений наши идеи могут несколько лучше соответствовать фактам. Первые наши идеи о новом предмете почти обязаны быть ошибочными, по крайней мере частично; индуктивный процесс дает нам возможность исправить их, приспособить их к действительности. Наши примеры показывают этот процесс в малом масштабе, но довольно ясно. В § 1 после двух или трех ошибочных предположений мы в конечном счете пришли к правильному предположению. Вы можете сказать, что мы пришли к нему случайно. «Однако такие случаи встречаются только людям, которые их заслуживают», — как однажды сказал Лагранж, когда обсуждалось одно несравненно более великое открытие Ньютона.

Приспособление ума может в большей или меньшей степени совпадать с приспособлением языка; как бы то ни было, одно идет рука об руку с другим. Прогресс науки отмечается прогрессом терминологии. Когда физики начинали говорить об «электричестве» или врачи об «инфекции», эти термины были туманными, неясными, путаными. Термины, которыми ученые пользуются сегодня, как, например, «электрический заряд», «электрический ток», «грибковая инфекция», «вирусная инфекция», являются несравненно более ясными и более определенными. Но между этими двумя терминологиями лежит огромное количество наблюдений, искусных экспериментов, а также несколько великих открытий. Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Мы можем проиллюстрировать и эту сторону процесса, т. е. индуктивное выяснение понятий, подходящим небольшим математическим примером. Вот ситуация, не столь уж нечастая в математическом исследовании: теорема уже сформулирована, но мы должны придать более точный смысл терминам, в которых она сформулирована, чтобы сделать ее безукоризненно правильной. Это, как мы увидим, может быть удобно сделано с помощью индуктивного процесса[23].

77

Обратимся снова к примеру 2 и его решению. Мы говорили о «подразделении поверхности шара на страны», не предлагая формального определения этого термина. Мы надеялись, что формула Эйлера останется справедливой, если Г, Р и В обозначают число стран, граничных линий и углов в таком подразделении. Однако мы снова полагались на примеры и грубое описание и не дали формального определения для Г, Р и В. в таком точном смысле следовало бы нам взять эти термины, чтобы сделать формулу Эйлера безукоризненно правильной? Вот наш вопрос.

Мы будем называть подразделение сферы (т. е. поверхности шара) с соответствующим истолкованием символов Г, Р и В «нормальным, если имеет место формула Эйлера, и «ненормальным», если эта формула не имеет места. Приведите примеры подразделений, которые могли бы помочь нам обнаружить какое-нибудь ясное и простое различие между «нормальными» и «ненормальными» случаями.

22. Полная поверхность шара состоит только из одной страны. Нормально ли это? (Мы подразумеваем: «нормально» с точки зрения формулы Эйлера.)

23. Поверхность шара делится точно на две страны, западное полушарие и восточное полушарие, разделенные большим кругом. Ненормально ли это?

24. Две параллели делят сферу на три страны. Нормально это или ненормально?

25. Три меридиана делят сферу на три страны. Нормально это или ненормально?

26. Назовите подразделение сферы m меридианами и p параллелями «подразделением (m, p) (ср. пример 26) могут быть порождены процессом, описанным в примере 2? (Проектирование выпуклого многогранника на сферу, за которой следует непрерывная деформация границ, оставляющая неизменным число стран и число граничных линий вокруг каждой страны.) какие условия относительно m и p характеризуют такие подразделения?

29. Что ненормально в примерах, в которых не имеет места формула Эйлера? Какие геометрические условия, делающие более точным смысл Г, В и Р, обеспечили бы выполнение формулы Эйлера?

30. Приведите еще примеры, иллюстрирующие ответ на пример 29.

31. Работа Декарта о многогранниках. Среди рукописей, оставленных Декартом, имелись короткие заметки об общей теории многогранников. Копия этих заметок (сделанная рукой Лейбница) была обнаружена и опубликована в 1860 г., более через двести лет после смерти Декарта; см. Œuvres vol. 10. p. 257—276. Эти заметки посвящены вопросу, тесно связанному с теоремой Эйлера: хотя заметки не устанавливают этой теоремы в явной форме, они содержат результаты, из которых она немедленно следует.

Рассмотрим вместе с Декартом выпуклый Многогранник. Назовем любой угол любой грани этого многогранника _поверхностным углом и пусть ∑α обозначает сумму всех поверхностных углов. Декарт вычисляет ∑α двумя различными способами, и теорема Эйлера немедленно получается из сравнения двух выражений.

Нижеследующие примеры дают читателю возможность восстановить некоторые из выводов Декарта. Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

Гn обозначает число граней с n ребрами,

Вn — число вершин, в которых оканчиваются n ребер, так что

 

Г3 + Г4 + Г5 + … = Г,

В3 + В4 + В5 + … = В.

 

Мы продолжаем обозначать символом Р число всех ребер многогранника.

78

32. Выразите число всех поверхностных углов тремя различными способами: соответственно через Г3, Г4, Г5, … В3, В4, В5, … и через Р.

33. Вычислите ∑α для пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додэкаэдра[24] и икосаэдра.

34. Выразите ∑α через Г3, Г4, Г5, …

35. Выразите ∑α через Р и Г.

36. Дополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники. Мы называем телесным углом то, что чаще называется многогранным углом.

Пусть два выпуклых телесных угла имеют одинаковое число граней и общую вершину, но не имеют никаких других общих точек. Каждой грани одного телесного угла соответствует ребро другого, и эта грань перпендикулярна соответствующему ребру. (Это отношение между двумя телесными углами взаимно: ребро e, линия пересечения двух соседних граней первого телесного угла, соответствует грани f̍' второго телесного угла, если f̍' ограничена двумя ребрами, соответствующими двум вышеупомянутым граням.) Два телесных угла, находящихся в этом взаимном отношении, называются дополнительными телесными углами. (Это название не является обычным, но два обыкновенных дополнительных угла можно перевести в аналогичное взаимное положение.) Каждый из двух дополнительных телесных углов называется дополнением другого.

Сфера радиуса 1, описанная из общей вершины двух дополнительных телесных углов, как из центра, пересекается ими по двум сферическим многоугольникам, и эти многоугольники называются дополнительными. Рассмотрим два дополнительных сферических многоугольника. Пусть a1, a2, …, an — его углы, A — его площадь, P — его периметр и пусть a'1, a'2, …, a'n, a'1, a'2, …, a'n, A', P' обозначают соответствующие части другого многоугольника. Тогда, если обозначения выбраны подходящим образом

 

a1, + a'1 = a2 + a'2 = … = an + a'n = π,

a'1, + a1 = a'2 + a2 = … = a'n + an = π,

 

это хорошо известно и легко проверить

Докажите, что

 

Р + A' = P'+ A = 2π

 

[примите как известное, что площадь сферического треугольника с углами α, δ и γ равна «сферическому избытку α, + δ + γπ (радиус сферы равен 1)]

37. «Как в плоской фигуре все внешние углы вместе равны 4 прямым углам так в пространственном теле все внешние телесные углы вместе равны 8 прямым углам». Попытайтесь интерпретировать это замечание, найденное в заметках Декарта, как теорему, которую вы можете доказать. (См. рис. 3.7.)

 

Рис. 3.7. Внешние углы многоугольника.

 

38. Выразите ∑α через В.

39. Докажите теорему Эйлера.

40. Начальное замечание § 1 туманно, но может навести на мысль о некоторых точных утверждениях. Вот одно, не рассмотренное нами в § 1: «Если любая из трех величин Г, В и Р стремится к ∞, то и две другие величины должны стремиться к ∞». Докажите следующие неравенства, имеющие место

79

для произвольных выпуклых многогранников и дайте еще более точную информацию:

 

2Р ≥ 3Г,          2ВГ + 4,      3ВР + 6,

2Р ≥ 3В,          2ГВ + 4,      3ГР + 6,

 

Может ли в этих неравенствах достигаться равенство? Для какого вида многогранников может оно достигаться?

41. Существуют выпуклые многогранники, все грани которых являются многоугольниками одного и того же типа, т. Е. Многоугольниками с одинаковым числом сторон. Например, все грани тетраэдра являются треугольниками, все грани параллелепипеда – четырехугольниками, все грани правильного додекаэдра — пятиугольниками. «И так далее», быть может, хочется вам сказать. Однако такая простая индукция может ввести в заблуждение: не существует выпуклых многогранников, все грани которых были бы шестиугольниками. Попытайтесь это доказать. [Пример 31.]

IV. ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

 

В теории чисел довольно часто случается, что благодаря какой-то неожиданной удаче наиболее изящные, новые истины возникают с помощью индукции. — Гаусс[23].

 

1. Целочисленные прямоугольные треугольники[24]. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником, так как

 

32 + 42 = 52

 

Это простейший пример прямоугольного треугольника, стороны которого измеряются целыми числами. Такие «целочисленные прямоугольные треугольники» играли важную роль в истории теории чисел; даже древние вавилоняне открыли некоторые из их свойств.

Вот одна из наиболее очевидных задач, касающаяся таких треугольников:

Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число π?

Сосредоточим свое внимание на этой задаче. Мы разыскиваем треугольник, гипотенуза которого измеряется данным целым числом n, а катеты какими-то целыми числами x и y, такие, что

 

n2 = x2 + y2,     0 < yx < n.

 

Мы можем подойти к задаче с помощью индукции, и, если только мы не владеем какими-нибудь специальными знаниями, у нас никакого другого пути и нет. Возьмем пример. Выберем n = 12. Итак мы ищем два положительных целых числа x и y, таких, что xy и

 

144 = x2 + y2.

 

Какие значения может принимать x2? Вот какие:

 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121.

81

Возможно ли, что x2 = 121? Т. е. является ли разность

 

144 — x2 = 144 — 121 = y2

 

квадратом? Нет, 23 не квадрат. Теперь нужно было бы испытать другие квадраты, но в действительности испытывать слишком много из них нет необходимости. Так как y x, то

 

144 = x2 + y2 ≤ 2x2,

x2 ≥ 72,

 

так что x2 = 100 и x2 = 81 — единственные остающиеся возможности. Но ни одно из чисел

 

144 — 100 = 44,        144 — 81 = 63

 

не является квадратом и отсюда ответ: не существует ни одного целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой 12.

Рассмотрим подобным же образом гипотенузу 13. Из трех чисел

 

169 — 144 = 25,        169 — 48,       169 — 100 = 69

 

квадратом является только одно и, таким образом, существует лишь один целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой 13:

 

169 = 144 + 25.

 

Действуя подобным образом, мы можем при некоторой настойчивости исследовать все числа до данного не слишком высокого предела, например 20. мы находим только пять «гипотенуз» меньших чем 20 — числа 5, 10, 13, 15 и 17:

 

25

=

16

+

9,

100

=

64

+

36,

169

=

144

+

25,

225

=

144

+

81,

289

=

225

+

64

 

Между прочим, случаи 10 и 15 не очень интересны. Треугольник со сторонами 10, 8 и 6 подобен более простому треугольнику со сторонами 5, 4 и 3, и это же верно для треугольника со сторонами 15, 12 и 9. остающиеся три прямоугольных треугольника с гипотенузами соответственно 15, 13 и 17 существенно различны; ни один из них не подобен другому.

Мы можем подметить, что все числа 5, 13 и 17 являются нечетными простыми числами. Однако это не все нечетные простые числа до 20; ни одно из других нечетных простых чисел — 3, 7, 11 и 19 — не является гипотенузой. Почему? В чем различие между этими двумя множествами? когда, при каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, и когда не является?

82

Это — видоизменение нашего первоначального вопроса. Оно может казаться более многообещающим: во всяком случае, оно является новым. Исследуем его снова с помощью индукции. При небольшой настойчивости мы составим следующую таблицу (черта указывает, что нет прямоугольного треугольника с гипотенузой p).

 

Нечетное простое число p

 

Прямоугольные треугольники с гипотенузой p

 

3

 

 

 

 

 

5

 

 

25

=

16 + 9

 

7

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

13

 

 

169

=

144 + 25

 

17

 

 

289

=

225 + 64

 

19

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

29

 

 

841

=

441 + 400

 

31

 

 

 

 

 

Когда простое число является гипотенузой и когда нет? В чем различие между этими двумя случаями? Физик легко мог бы задать себе какие-нибудь очень похожие вопросы. Например, он исследует двойное лучепреломление кристаллов. Некоторые кристаллы действительно обнаруживает двойное лучепреломление, другие нет. Какие кристаллы являются дважды лучепреломляющими, а какие нет? В чем различие между этими двумя случаями?

Физик разглядывает свои кристаллы, а мы разглядываем свои два множества простых чисел[25]:

 

5, 13, 17, 29, … и 3, 7, 11, 19, 23, 31, …

 

Хотелось бы отыскать какое-нибудь характеристическое различие между этими двумя множествами. Числа в обоих множествах возрастают неправильными скачками. Посмотрим на длины этих скачков, на последовательные разности:

 

5

 

13

 

17

 

29

 

3

 

7

 

11

 

19

 

23

 

31

 

8

 

4

 

12

 

 

 

4

 

4

 

8

 

4

 

8

 

 

Многие из этих разностей равны 4 и, как легко заметить, все они делятся на 4. Числа в первом множестве, начинающемся с 5, при делении на 4 дают остаток 1, имеют вид 4n + 1 с целым n. Числа из второго множества, начинающегося с 3, имеет вид 4n + 3. Могло бы это быть характеристическим различием, которое мы ищем? Если мы с самого начала не отбросим этой возможности, то придем к следующему предположению: простое число вида 4n + 1 является гипотенузой в точности одного целочисленного прямоугольного треугольника; простое число вида 4n + 3 не является гипотенузой ни одного такого треугольника.

83

2. Суммы квадратов. Задача о целочисленных прямоугольных треугольниках, одним аспектом которой мы только что занимались (в § 1), играла, как мы сказали, важную роль в истории теории чисел. Она приводит в действительности к многим дальнейшим вопросам. Какие вообще числа, квадраты или нет, могут быть разложены в сумму двух квадратов? Что можно сказать о числах, которые не могут быть разложены в сумму двух квадратов? Возможно, они разложимы в сумму трех квадратов; но что можно сказать о числах, неразложимых в сумму трех квадратов?

Мы могли бы продвигаться беспредельно, но, и это в высшей степени замечательно, мы в этом не нуждаемся. Баше де Мезириак (автор первой печатной книги о математических развлечениях) заметил, что любое (т. е. положительное целое) число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратов. Он не претендовал на доказательство. От[26] нашел намеки, приводящие к этому утверждению в некоторых задачах Диофанта и убедился, что оно верно для всех чисел до 325.

Короче говоря, утверждение Баше было всего лишь предположением, найденным индуктивно. Мне кажется, что главным его достижением была постановка вопроса: СКОЛЬКО квадратов нужно, чтобы представить все целые числа? Раз этот вопрос ясно поставлен, не представляет особых трудностей найти ответ с помощью индукции. Мы составляем таблицу, начиная с

 

1

=

1,

2

=

1 + 1,

3

=

1 + 1 + 1,

4

=

4,

5

=

4 + 1,

6

=

4 + 1 + 1,

7

=

4 + 1 + 1 + 1,

8

=

4 + 4,

9

=

9,

10

=

9 + 1

 

Этим предположение подтверждается для чисел до 10. Только число 7 требует четырех квадратов; другие представимы с помощью одного, двух или трех. Баше продолжил таблицу для чисел до 325 и нашел много чисел, требующих четырех квадратов, и ни одного, требующего больше. Такие индуктивные доводы, по-видимому, убедили его, по крайней мере до некоторой степени, и он опубликовал свое утверждение. Ему повезло. Его предположение оказалось верным, и, таким образом, ему принадлежит открытие «теоремы о четырех квадратах», которую мы можем сформулировать и в такой форме: Уравнение

 

n = x2 + y2 + z2 + w2,

84

где n — любое данное положительное целое число, имеет решение, в котором x, y, z и w являются неотрицательными целыми числами.

Разложение числа в сумму квадратов можно рассматривать и с других точек зрения. Так, мы можем исследовать число решений уравнения

 

n = x2 + y2

 

в целых числах x и y. Мы можем допускать только положительные целые числа или все целые числа, положительные, отрицательные или 0. если мы выберем последнее понимание задачи и возьмем в качестве примера n = 25, то найдем 12 решений уравнения

 

25 = x2 + y2

 

а именно следующие:

 

25 = 52 + 02 = (—5)2 + 02 = 02 + 52 = 02 + (—5)2  =42 + 32 = (—4)2 + 32 = 42 + (—3)2 =

= (—4)2 + (—3)2 = 32 + 42 = (—3)2 + 42 = 32 + (—4)2 = (—3)2 + (—4)2.

 

Между прочим, эти решения имеют интересную геометрическую интерпретацию, но нам нет необходимости ее здесь рассматривать. См. пример 2.

 

3 О сумме четырех нечетных квадратов. Из многих задач, относящихся к суммам квадратов, я выбираю задачу, которая выглядит настолько искусственной, но окажется чрезвычайно поучительной.

Пусть u обозначает положительное нечетное число. Исследовать индуктивно число решений уравнения

 

4u = x2 + y2 + z2 + w2

 

в положительных нечетных числах x, y, z и w.

Например, если u = 1, то мы имеем уравнение

 

4 = x2 + y2 + z2 + w2

 

и, очевидно, имеется всего лишь одно решение x = y =z = w = 1.

В самом деле,

 

x = —1,          y = 1,  z = 1,   w = 1

 

или

 

x = 2,   y = 0,  z = 0,   w = 0

 

мы не рассматриваем как решения, так как предполагаем, что x, y, z и w могут быть только положительными нечетными числами. Если u = 3, то уравнение имеет вид

 

12 = x2 + y2 + z2 + w2

85

и следующие решения:

 

x = 3,   y = 1,  z = 1,   w = 1

x = 1,   y = 3,  z = 1,   w = 1

 

являются различными.

Для того чтобы подчеркнуть ограничение, наложенное на значения x, y, z и w, мы будем избегать термина «решение» и вместо него пользоваться более специфическим описанием[27]: представление числа 4u в виде суммы четырех нечетных квадратов». Так как это описание длинно, мы будем его различными способами сокращать, иногда даже до одного слова «представление».

 

4. Исследование примера. Для того чтобы вникнуть в смысл нашей задачи, рассмотрим пример. Выберем u = 25. Тогда 4u = 100, и мы должны найти все представления числа 100 в виде суммы четырех нечетных квадратов. Какие нечетные квадраты пригодны для этой цели? Следующие:

 

1, 9, 25, 49, 81.

 

Если 81 является одним из четырех квадратов, сумма которых равна 100, то сумма трех других должна быть

 

100 — 81 = 19.

 

Нечетными квадратами, меньшими, чем 19, являются лишь 1 и 9 и, очевидно, для представления 19 в виде суммы 3 нечетных квадратов, если члены расположены в порядке убывания, имеется единственная возможность. Мы получаем

 

100 = 81 + 9 + 9 + 1.

 

Подобным же образом находим

 

100 = 49 + 49 + 1 + 1,

100 = 49 + 25 + 25 + 1,

100 = 25 + 25 + 25 + 25.

 

Действуя систематически, отщепляя сначала наибольший квадрат, мы можем убедиться, что исчерпали все возможности, при условии, что 4 квадрата расположены в порядке убывания (или, точнее, в порядке невозрастания). Но если мы примем в расчет, как нам и надлежит, все  расположения членов, ото существует больше возможностей. Например,

 

100 = 49 + 49 + 1 + 1 = 49 + 1 + 49 + 1 = 1 + 49 + 49 + 1 = 1 + 49 +1 + 49 = 1 + 1 + 49 + 49.

86

Эти шесть сумм имеют одни и те же члены, но порядок членов различен; в соответствии с постановкой нашей задачи они должны рассматриваться как 6 различных представлений; одно представление

 

100 = 49 + 49 + 1 + 1

 

с невозрастающими членами является источником пяти других представлений, а всего шести представлений. Подобным же образом имеем:

 

Невозрастающие члены

 

Число расположений

81 +

9 +

9 +

1

 

 

12

 

49 +

49 +

1 +

1

 

 

6

 

49 +

25 +

25 +

25

 

 

12

 

25 +

25 +

25 +

25

 

 

1

 

 

Подводя итог, мы находим в нашем случае, когда u = 25 и 4u = 100, количество представлений числа 4u = 100 в виде суммы 4 нечетных квадратов:

 

12 + 6 + 12 + 1 = 31.

 

5. Составление таблицы наблюдений. Частный случай u = 25, где 4u = 100 и число представлений равно 31, ясно показывает нам смысл задачи. Мы можем теперь систематически изучить простейшие случаи, u = 1? 3? 5, … до u = 25. Составим таблицу (см. стр. 87, читателю следует самому составить таблицу или по крайней мере проверить несколько строк).

 

6. Каково правило? Существует ли какой-нибудь закон, который мы могли бы распознать, какая-либо простая связь между нечетным числом u числом различных представлений числа 4u в виде суммы четырех нечетных квадратов?

Этот вопрос — ядро нашей задачи. Мы должны на него ответить на основании наблюдений, собранных и сведенных в таблицу в предыдущем параграфе. Мы находимся в положении натуралиста, пытающегося извлечь из своих экспериментальных данных какое-нибудь правило, какую-нибудь общую формулу. Экспериментальный материал, имеющийся к этому моменту в нашем распоряжении, состоит из двух параллельных рядов чисел:

 

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

1

4

6

8

13

12

14

24

18

20

32

24

31

 

Первый ряд состоит из последовательных нечетных чисел, но какое правило управляет вторым рядом?

Когда мы пытаемся ответить на этот вопрос, наше первое чувство может быть близко к отчаянию. Этот второй ряд кажется совершенно неправильным, нас озадачивает его сложное происхождение, мы едва ли можем надеяться найти какое-нибудь правило. Однако если мы забудем

87

Таблица 1

u

4u

Невозрастающие слагаемые

Расположения

Представления

1

4

1 +

1 +

1 +

1

1

1

3

12

9 +

1 +

1 +

1

4

4

5

20

9 +

9 +

1 +

1

6

6

7

28

25 +

1 +

1 +

1

12

13

 

 

9 +

9 +

9 +

1

1

 

9

36

25 +

9 +

1 +

1

12

12

 

 

9 +

9 +

9 +

9

1

 

11

44

25 +

9 +

9 +

1

12

12

13

52

49 +

1 +

1 +

1

4

14

 

 

25 +

25 +

1 +

1

6

 

 

 

25 +

9 +

9 +

9

4

 

15

60

49 +

9 +

1 +

1

12

24

 

 

25 +

25 +

9 +

1

12

 

17

68

49 +

9 +

9 +

1

12

18

 

 

25 +

25 +

9 +

9

6

 

19

76

49 +

25 +

1 +

1

12

20

 

 

49 +

9 +

9 +

9

4

 

 

 

25 +

25 +

25 +

1

4

 

21

84

81 +

1 +

1 +

1

4

32

 

 

49 +

25 +

9 +

1

24

 

 

 

25 +

25 +

25 +

1

4

 

23

92

81 +

9 +

1 +

1

12

24

 

 

49 +

25 +

9 +

9

12

 

25

100

81 +

9 +

9 +

1

12

31

 

 

49 +

49 +

1 +

1

6

 

 

 

49 +

25 +

25 +

1

 

 

 

 

25 +

25 +

25 +

25

 

 

 

о его сложном происхождении и сосредоточим свое внимание на том, что находится перед нами, то достаточно легко заметить одно обстоятельство. Довольно часто случается, что член второго ряда превосходит соответствующий член первого ряда ровно на ндну единицу. Выделяя эти случаи жирным шрифтом в первом ряду, мы можем представить наш экспериментальный материал следующим образом:

 

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

1

4

6

8

13

12

14

24

18

20

32

24

31

 

Наше внимание привлекают числа, напечатанные жирным шрифтом. Нетрудно их узнать: они простые. Действительно, это все простые числа, имеющиеся в первом ряду нашей таблицы. Это замечание, если мы припомним происхождение нашего ряда, может показаться очень удивительным. Мы рассматривали квадраты, мы никоим образом не касались простых чисел. Не странно ли, что в нашей задаче какую-то роль играют простые числа? Трудно избежать впечатления, что наше наблюдение имеет важное значение, что за ним кроется что-то замечательное.

88

Что же можно сказать о числах из первого ряда, не напечатанных жирным шрифтом? Они являются нечетными числами, но не простыми. Первое, 1, единица, другие — составные:

 

9 = 3 × 3,        15 = 3 × 5,      21 = 3 × 7,      25 = 5 × 5.

 

Какова природа соответствующих чисел во втором ряду?

Если нечетное число u простое, то соответствующее число равно u + 1; если u не простое, то соответствующее число не равно u + 1. Это мы уже заметили. Мы можем прибавить одно маленькое замечание. Если u = 1, то соответствующее число также 1, и, таким образом, оно меньше, чем u + 1, но во всех других случаях, когда u не простое, соответствующее число больше, чем u + 1. Иными словами, число, соответствующее u, меньше, равно или больше, чем u + 1 в соответствии с тем, является ли u единицей, простым или составным числом. Существует какая-то закономерность.

Сосредоточим свое внимание на составных числах в верхней строке и соответствующих числах в нижней

 

 

3 × 3

3 × 5

3 × 3

5 × 5

13

24

32

31

 

Что-то странное. Квадраты в первой строке соответствуют простым числам во второй. Однако у нас слишком мало наблюдений; вероятно, нам не следует придавать этому замечанию слишком большого значения. Все же верно, что, наоборот, под составными числами в первой строке, не являющимися квадратами, мы находим во второй строке числа, не являющиеся простыми

 

3 × 5

3 × 7

4 × 6

4 × 8

 

Снова что-то странное. Каждый множитель во второй стоке превосходит соответствующий множитель в первой строке ровно на ндну единицу. Однако у нас слишком мало наблюдений; нам лучше не придавать этому замечанию слишком большого значения. Все же наше замечание обнаруживает какой-то параллелизм с предыдущим замечанием. Мы подметили раньше

 

p

p + 1

 

и мы подметили теперь

 

pq

(p + 1)(q + 1),

 

где p и q простые. Существует какая-то закономерность.

Возможно, мы увидим это яснее, если напишем число, соответствующее pq, иначе:

 

(p + 1)(q + 1) = pq + p + q + 1.

89

Что же мы можем здесь увидеть? Что это за числа pq, p, q, 1? Как бы то ни было, случаи

 

9

25

13

31

 

остаются необъясненными. Действительно, числа, написанные под 9 и 25, как мы уже заметили, соответственно, больше, чем 9 + 1 и 25 + 1:

 

13 = 9 + 1 + 3,            31 = 25 + 1 + 5.

 

Что это за числа?

Теперь достаточно лишь небольшой искры и нам может удастся[28] соединить наши отрывочные замечания в стройное целое, наши разрозненные указания в эффектную картину полного соответствия:

 

p

pq

9

25

1

p + 1

pq + p + q + 1

9 + 3 + 1

25 + 5 + 1

1

 

 

ДЕЛИТЕЛИ! Вторая строка указывает делители чисел первой строки. Это может оказаться разыскиваемым правилом и открытием, настоящим открытием:

Каждому числу в первой строке соответствует сумма его делителей.

И таким образом мы пришли к предположению, быть может, к одной из тех «наиболее изящных новых истин» Гаусса:

Если u — нечетное число, то число представлений числа 4u в виде суммы четырех нечетных квадратов равно сумме делителей u.

 

7. Природа индуктивного открытия. Просматривая предыдущие параграфы (от 3 до 6), мы можем найти много вопросов, нуждающихся в ответе.

Что мы получили? Не доказательство, даже не тень доказательства, а всего лишь предположение: простое описание фактов в пределах нашего экспериментального материала и некоторую надежду, что это описание можно применить и за пределами нашего экспериментального материала.

Как мы получили наше предположение? В основном тем же способом, каким обычные люди или ученые, работающие в какой-нибудь нематематической области получают свои. Мы собрали относящиеся к вопросу наблюдения, исследовали и сравнили их, подметили отрывочные закономерности, колебались, спотыкались, и в конце концов нам удалось _соединить разрозненные детали в явно многозначительное целое. Совершенно подобным же образом археолог по нескольким разрозненным буквам на стертом камне может восстановить целую надпись или палеонтолог по немногим окаменевшим

90

костям вымершего животного может восстановить его существенные черты. В нашем случае многозначительное целое появилось в тот самый момент, когда мы осознали подходящее объединение понятие (делители).

 

8. О природе индуктивных доводов. Остается еще несколько вопросов.

Насколько сильны эти доводы? Ваш вопрос является неполным. Вы имеете, конечно, в виду индуктивные доводы для нашего предположения, сформулированного в § 6, которые мы можем вывести из табл. 1 § 5; это понятно. Однако что вы понимаете под словом «сильны»? Доводы сильны, если они убедительны; они убедительны, если они кого-нибудь убеждают. Однако вы не сказали, кого они должны были бы убеждать — меня или вас или Эйлера или начинающего или кого-нибудь еще?

Лично я нахожу доводы довольно убедительными. Я чувствую уверенность, что Эйлер думал бы о них очень благоприятно (я упоминаю Эйлера потому, что он очень близко подходил к открытию нашего предположения; см. пример 6.24). Я думаю, что начинающий, который кое-что знает о делимости чисел, также нашел бы доводы довольно убедительными. Мой коллега, превосходный математик, который, однако, не был знаком с этим уголком теории чисел, нашел доводы «убедительными на сто процентов».

Я не интересуюсь субъективными впечатлениями. Какова точная, объективно оцениваемая степень разумной веры, оправдываемая индуктивными доводами?[29] Вы даете мне одно (A), не даете мне другого (B) и спрашиваете у меня о третьем (C).

(A) Вы даете мне только лишь индуктивные доводы: предположение было подтверждено в первых тринадцати случаях для чисел 4, 12, 20, …, 100. Это совершенно ясно.

(B) Вы желаете, чтобы я оценил степень разумной веры, оправдываемую этими доводами. Однако такая вера должна зависеть если не от капризов и темперамента, то от знаний человека, воспринимающего доводы. Он может знать доказательство предполагаемой теоремы или противоречащий пример, подрывающий ее. В этих двух случаях степень его веры, уже твердо установления, не изменится под влиянием индуктивных доводов. Однако если он знает что-нибудь, что очень близко подходит к полному доказательству или к полному опровержению теоремы, то его вера еще способна измениться и на нее окажут воздействие полученные здесь индуктивные доводы, хотя в соответствии с характером знаний, которые он имеет, из этих доводов будут вытекать различные степени веры. Поэтому, если вы хотите определенного ответа, вам следовало бы указать определенный уровень знаний, на основе которого должны были бы оцениваться предложенные индуктивные доводы (A). Вы должны дать мне определенный набор относящихся к рассматриваемому вопросу

91

известных фактов (возможно, подробный список известных элементарных предложений из теории чисел).

(C) Вы желаете, чтобы я точно оценил степень разумной веры, оправдываемую индуктивными доводами. Быть может, мне следует дать ее вам в процентах «полной веры»? (Мы можем условиться называть «полной верой» степень веры, оправдываемую полным математическим доказательством рассматриваемой теоремы). Не хотите ли вы услышать, что данные доводы оправдывают веру, составляющую 99% или 2,875% или 0,000001% «полной веры»?

Короче говоря, вы желаете, чтобы я решил задачу:

Пусть даны (A) индуктивные доводы и (B) определенный набор известных фактов и предложений; вычислить (C) процент полной веры, разумно вытекающий из (A) и (B).

Решить эту задачу — означало бы сделать гораздо больше, чем в моих силах. Я не знаю никого, кто смог бы это сделать, и никого, кто отважился бы это сделать[30]. Я знаю некоторых философов, которые обещают сделать что-то в этом роде в чрезвычайной общности. Однако, встретив конкретную задачу, они уклоняются и увиливают и находят тысячу отговорок, объясняющих, почему нельзя решить именно эту задачу.

Возможно, эта задача является одной из тех типичных философских задач, о которых вы можете много говорить вообще и даже проявлять подлинную заинтересованность, но которые превращаются в ничто, когда вы снижаете их до конкретных условий.

Могли бы вы сравнить настоящий случай индуктивного умозаключения с каким-нибудь другим знакомым случаем и таким образом прийти к разумной оценке силы доводов? Сравним индуктивные доводы в пользу нашего предположения с доводами Баше в пользу его предположения.

Вот предположение Баше: для n = 1, 2, 3, … уравнение

 

n = x2 + y2 + z2 + w2

 

имеет по крайней мере одно решение в неотрицательных целых числах x, y, z и w. Он убедился, что это предположение верно для n = 1, 2, 3, …, 325. (См. § 2, в частности, короткую таблицу.)

Вот наше предположение: для данного нечетного u число решений уравнения

 

4u = x2 + y2 + z2 + w2

 

в положительных нечетных числах x, y, z, и w равно сумме делителей числа u. Мы убедились, что это предположение верно для u = 1, 3, 5, 7, 25 (13 случаев). (См. §§ 3—6)

Я сравню эти два предположения и индуктивные доводы, даваемые их соответственными подтверждениями, в трех отношениях.

Число подтверждений. Предположение Баше было подтверждено в 325 случаях, наше предположение — только в 13 случаях. Преимущество в этом отношении явно на стороне Баше

92

Точность предсказания. Предположение Баше предсказывает, что число решений ≥ 1; наше — предсказывает, что число решений в точности равно такой-то и такой-то величине. Очевидно, разумно допустить, как я полагаю, что подтверждение более точного предсказания имеет больше веса, чем подтверждение менее точного предсказания. В этом отношении преимущество явно на нашей стороне.

Соперничающие предположения. Предположение Баше относится к максимальному числу квадратов, скажем, M, необходимому для представления произвольного положительного целого числа в виде суммы квадратов. Действительно, предположение Баше утверждает, что M = 4. Я не думаю, что Баше a puiori имел какое-нибудь основание предпочесть M = 4, скажем, M = 5 или любому другому значению, например M = 6 или M = 7; a puiori не исключено даже M = ∞. (естественно, M = ∞ означало бы, что существуют все бо́льшие и бо́льшие целые числа, требующие все большего и большего числа квадратов. На первый взгляд, M = ∞ могло бы казаться наиболее вероятным предположением.) Короче говоря, у предположения Баше есть много очевидных соперников. А у нашего нет ни одного. Когда мы рассматривали неправильную последовательность чисел представления (§ 6), у нас было впечатление, что мы можем оказаться не в состоянии найти никакого правила. Теперь мы все-таки нашли замечательно ясное правило. Нам трудно надеяться найти какое-нибудь другое правило.

Может оказаться трудным выбрать невесту, если для выбора имеется много привлекательных юных леди: если же поблизости есть всего лишь одна подходящая девушка, то решение может прийти намного быстрее. Мне кажется, что наше отношение к предположениям отчасти сходно. При прочих равных условиях предположение, имеющее много очевидных соперников, принять труднее, чем предположение, не имеющее соперников. Если вы думаете так же, как и я, то вы должны найти, что в этом отношении преимущество на стороне нашего предположения, а не на стороне предположения Баше.

Пожалуйста, заметьте, что доводы в пользу предположения Баше сильнее в одном отношении, а доводы в пользу нашего предположения сильнее в других отношениях, и не задавайте вопросов, на которые нельзя ответить.

 

ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV

 

1. Обозначения. Мы предполагаем, что n и k — положительные целые числа и рассматриваем диофантово уравнение

 

n = x12 + x22 + … + xk2.

 

Мы говорим, что два решения x1, x2, …, xk и x′1, x′2, …, x′k равны в том и только в том случае, если  x1 = x′1, x2 = x′2, …, xk = x′k. Если мы допускаем

93

для x1, x2…, xk, все целые числа, положительные, отрицательные или нуль, то число решений мы обозначаем символом Rk(n). Если мы допускаем только положительные нечетные числа, то число решений обозначаем символом Sk(n). Эти обозначения играют важную роль в большей части следующих задач.

Предположение Баше (§ 2) выражается в этих обозначениях неравенством

 

R4(n) > 0 для n = 1, 2, 3, …

 

Предположение, открытое нами в § 6 утверждает, что S4(4(2n —1)) равно сумме делителей числа 2n —1 для n = 1, 2, 3, ….

Найдите R2(25) и S3(11).

2. Пусть x и y — прямоугольные координаты на плоскости. Точки, для которых и x, и y суть целые числа, называются «точками решетки» на плоскости. Точки решетки в пространстве определяются аналогично.

Найдите геометрическую интерпретацию R2(n) и R3(n) в терминах точек решетки.

3. Выразите предположение, с которым мы встретились в § 1, пользуясь символом R2(n).

4. Когда нечетное число является суммой двух квадратов? Попытайтесь ответить на этот вопрос с помощью индукции, исследуя таблицу

 

3

=

5

=

4 + 1

7

=

11

=

13

=

9 + 4

17

=

16 + 1

19

=

23

=

29

=

25 + 4

31

=

 

Продолжите, если необходимо, эту таблицу и сравните ее с таблицей § I.

5. Могли бы вы путем математической дедукции подтвердить какую-нибудь часть вашего ответа к примеру 4, полученного с помощью индукции? После такого подтверждения не было ли бы разумно изменить вашу веру в предположение?

6. Проверьте предположение Баше (§ 2) для чисел до 30 включительно. Какие числа действительно требуют четырех квадратов?

7. Пусть a2, b2, c2 и d2 обозначают четыре различных нечетных квадрата. Чтобы лучше понять табл. I в § 5, рассмотрите суммы

 

(1) a2 + b2 + c2 + d2,

(2) a2 + a2 + b2 + c2,

(3) a2 + a2 + b2 + b2,

(4) a2 + a2 + a2 + b2,

(5) a2 + a2 + a2 + a2,

 

Сколько различных представлений (в смысле § 3) вы можете получить из каждой суммы с помощью перестановки членов?

8. Число представлений числа 4u в виде суммы четырех нечетных квадратов нечетно в том и только в том случае, если u и есть квадрат. (Следуя обозначениям § 3, мы предполагаем, что u нечетно.) Докажите это утверждение и покажите, что оно находится в согласии с предположением § 6. Какое  влияние оказывает это замечание на вашу веру в это предположение?

94

9. Пусть теперь a, b, c и d обозначают четыре различные положительные целые числа (четные и нечетные). Рассмотрите пять сумм, упомянутых в примере 7, а также следующие:

 

(6)

a2 + b2 + a2,

(9)

a2 + b2

(7)

a2 + a2 + b2,

(10)

a2 + a2,

(8)

a2 + a2 + a2,

(11)

a2.

 

Найдите в каждом из этих одиннадцати случаев взнос в R4(n). Все возможные представления нужно выводить из каждой суммы с помощью следующих очевидных операций: прибавлять 02 столько раз, сколько необходимо, чтобы довести число членов до 4, изменять порядок и заменять несколько (или ни одного, или все) чисел a, b, c, d соответственно числами — a, — b, — c, —d (проверьте примеры в табл II.)

 

Таблица II

n

Невозрастающие слагаемые

Представления

R4(n)/8.

1

1

4 × 2

1

2

1 + 1

6 × 4

3

3

1 + 1 + 1

4 × 8

4

4

4

4 × 2

3

 

1 + 1 + 1 + 1

1 × 16

 

5

4 + 1

12 × 4

6

6

4 + 1 + 1

12 × 8

12

7

4 + 1 + 1 + 1

4 × 16

8

8

4 + 4

6 × 4

3

9

9

4 × 2

13

 

4 + 4 + 1 + 1

12 × 8

 

10

9 + 1

12 × 4

18

 

4 + 1 + 1 + 1

6 × 16

 

11

9 + 1 + 1

12 × 8

12

12

9 + 1 + 1 + 1

4 × 16

12

 

4 + 4 + 4

4 × 8

 

13

9 + 4

12 × 4

14

 

4 + 4 + 4 + 1

4 × 16

 

14

9 + 4 + 1

24 × 8

24

15

9 + 4 + 1 + 1

12 × 16

24

16

16

4 × 2

3

 

4 + 4 + 4 + 4

1 × 16

 

17

16 + 1

12 × 4

18

 

9 + 4 + 4

12 × 8

 

18

16 + 1 + 1

12 × 8

39

 

9 + 9

6 × 4

 

 

9 + 4 + 4 + 1

12 × 16

 

19

16 + 1 + 1 + 1

4 × 16

20

 

9 + 9 + 1

12 × 8

 

20

16 + 4

12 × 4

18

 

9 + 9 + 1 + 1

6 × 16

 

21

16 + 4 + 1

24 × 8

32

 

9 + 4 + 4 + 4

4 × 16

 

22

16 + 4 + 1 + 1

12 × 16

36

 

9 + 9 + 4

12 × 8

 

23

9 + 9 + 4 + 1

12 × 16

24

 

95

Продолжение таблицы II

n

Невозрастающие слагаемые

Представления

R4(n)/8.

24

16 + 4 + 4

12 × 8

12

25

25

4 × 2

31

 

16 + 9

12 × 4

 

 

16 + 4 + 4 + 1

12 × 16

 

26

25 + 1

12 × 4

42

 

16 + 9 + 1

24 × 8

 

 

9 + 9 + 4 + 4

6 × 16

 

27

25 + 1 + 1

12 × 8

40

 

16 + 9 + 1 + 1

12 × 16

 

 

9 + 9 + 9

4 × 8

 

28

25+ 1 + 1 + 1

4 × 16

24

 

16 + 4 + 4 + 4

4 × 16

 

 

9 + 9 + 9 + 1

4 × 16

 

29

25 + 4

12 × 4

30

 

16 + 9 + 4

24 × 8

 

30

25 + 4 + 1

24 × 8

72

 

16 + 9 + 4 + 1

 

 

 

Таблица III

n

R4(n)/8

R8(n)/16

S8(8n)

S4(4(2n —1))

2n —1

1

1

1

1

1

1

2

3

7

8

4

3

3

4

28

28

6

5

4

3

71

64

8

7

5

6

126

126

13

9

6

12

196

224

12

11

7

8

344

344

14

13

8

3

583

512

24

15

9

13

757

757

18

17

10

18

882

1008

20

19

11

12

1332

1332

32

21

12

12

1988

1792

24

23

13

14

2198

2198

31

25

14

24

2408

2752

40

27

15

24

3528

3528

30

29

16

3

4679

4096

32

31

17

18

4914

4914

48

33

18

39

5299

6056

48

35

19

20

6860

6860

38

37

20

18

8946

8064

56

39

 

10. Индуктивно исследуйте число решений уравнения n = x2 + y2 + z2 + w2 в целых числах x, y, z и w, положительных, отрицательных или 0. начните с построения таблицы, аналогичной табл. I

96

11 (продолжение). Попытайтесь воспользоваться методом или результатом § 6.

12 (продолжение). Руководствуясь аналогией с § 6 или вашим наблюдением табл II, выделите подходящие классы целых чисел и исследуйте каждый класс сам по себе.

13 (продолжение). Сконцентрируйте свое внимание на наиболее неподдающемся вашим усилиям классе.

14 (продолжение). Попытайтесь суммировать все отрывочные закономерности и выразите закон в одном предложении.

15 (продолжение). Проверьте найденное плавило в первых стрех случаях, не содержащихся в табл II.

16. Найдите R8(5) и S8(40).

17. Проверьте по крайней мере две строки в табл. III стр. 95, еще не приведенные в табл. I и II.

18. Пользуясь табл. III, индуктивно исследуйте R8(n) и S8(n).

19 (продолжение). Попытайтесь воспользоваться методом или результатом § 6 и примеров 10—15.

20 (продолжение). Руководствуясь аналогией или наблюдением, выделите подходящие классы целых чисел и исследуйте каждый класс сам по себе.

21 (продолжение). Попытайтесь обнаружить ключ в наиболее доступном случае.

22 (продолжение). Попытайтесь найти какое-нибудь объединяющее понятие, которое могло бы суммировать отрывочные закономерности.

23 (продолжение). Попытайтесь выразить закон в одном предложении.

24. Какие целые числа могут и какие не могут быть выражены в виде 3x + 5y, где x и y — неотрицательные целые числа.

25. Попытайтесь догадаться, по какому закону составлена следующая таблица:

 

a

b

Последнее целое число,

не выражающееся в виде ax + by

2

3

1

2

5

3

2

7

5

2

9

7

3

4

5

3

5

7

3

7

11

3

8

13

4

5

11

5

6

19

 

Подразумевается, что x и y — неотрицательные целые числа. Проверьте несколько строк и, если необходимо, продолжите таблицу. (Проследите изменения, происходящие в последнем столбце, когда изменяется лишь одно из двух чисел a и b.)

26. Опасности индукции. Индуктивно исследуйте следующие утверждения:

(1) (n — 1)! + 1 делится на n, когда n — простое число, но не делится на n, когда n — составное число.

(2) 2n—1 — 1 делится на n, когда n — нечетное простое число, но не делится на n, когда n — составное число.

V. РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ ИНДУКЦИИ

 

Когда вы убедитесь, что теорема верна, вы начинаете ее доказывать. — Традиционный профессор математики[25][26].

 

1. Разложения. Сталкиваясь с разного рода задачами, мы нуждаемся в определенном типе индуктивных рассуждений. В различных областях математики встречаются некоторые задачи, требующие индуктивных рассуждений типичного характера. Настоящая глава несколькими примерами иллюстрирует этот тезис. Мы начинаем с относительно простого примера.

Разложить по степеням x функцию 1/(1 — x + x2).

Эта задача может быть решена многими способами. Нижеследующее решение несколько громоздко, но оно основано на правильном принципе и может естественно прийти в голову умному начинающему, который знает немного, но все же по крайней мере знает сумму геометрической прогрессии:

 

 

В нашей задаче есть возможность воспользоваться этой формулой:

 

=

1

+

x

x2

+

 

 

 

 

 

+

x2

2x3

+

x4

+

 

 

 

 

 

 

 

+

x3

3x4

+

3x5

x6

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x4

4x5

+

6x6

4x7

+

x8

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x5

5x6

+

10x7

10x8

+…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x6

6x7

+

15x8

—…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x7

7x8

+…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x8

—…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

+

x

 

 

x3

x4

 

 

+

x6

+

x7

 

 

 

 

98

Результат поразителен. Любой отличный от нуля коэффициент имеет или значение 1 или значение — 1. последовательность коэффициентов, по-видимому, обнаруживает некоторую закономерность, которая станет более очевидной, если мы вычислим еще несколько членов:

 

Периодичность! Последовательность коэффициентов оказывается периодической с периодом 6:

 

1, 1, 0, — 1, — 1, 0 | 1, 1, 0, — 1, —1, 0 | 1, 1, …

 

Мы, естественно, ожидаем, что наблюдаемая периодичность продолжится и за пределами наших наблюдений. Но это — индуктивное заключение или всего лишь догадка, к которой нам следовало бы отнестись с должным недоверием. Эта догадка, однако, основана на фактах и поэтому заслуживает серьезного исследования. Исследовать ее, помимо всего прочего, значит выразить ее по-другому. Существует интересный способ выразить иначе наше предположение:

 

 

Теперь мы легко можем заметить в правой части равенства две геометрические прогрессии с одним и тем же знаменателем — x3, суммы которых мы можем найти. И, таким образом, предположение сводится к равенству

 

 

которое, конечно, верно. Мы доказали наше предположение.

Наш пример, несмотря на свою простоту, во многих отношениях типичен. Если нам нужно разложить данную функцию, мы часто можем без большого труда получить первые несколько коэффициентов. Рассматривая эти коэффициенты, мы должны попытаться, как мы здесь и сделали, угадать закон, управляющий разложением. Угадав закон, мы должны попытаться, как мы здесь и сделали, его доказать. Может оказаться очень выгодным, как это здесь и оказалось, провести доказательство в обратном направлении, исходя из подходящей ясной формулировки предположения.

Между прочим, наш пример является весьма благодарным (что также типично). Он приводит к любопытному соотношению между биномиальными коэффициентами.

Не лишне будет добавить, что задача разложения данной функции в ряд возникает в различных областях математики. См следующий параграф, а также примеры и примечания к гл. 6 наш пример является весьма благодарным (что также типично). Он приводит к любопытному соотношению между биномиальными коэффициентами.

Не лишне будет добавить, что задача разложения данной функции в ряд возникает в различных областях математики. См следующий параграф, а также примеры и примечания к гл. VI.

99

2. Приближения[27]. Пусть E обозначает длину дуги эллипса с полуосями a и b. Для E обозначает длину дуги эллипса с полуосями a и b. Для E не существует простого выражения через a и b, но было предложено несколько приближенных выражений, среди которых следующие два являются, пожалуй, наиболее очевидными:

 

P = π(a + b),   P' = 2π(ab)½,

 

P — приближенное, P' — другое приближенное, E — точное выражение для одной и той же величины — длины дуги эллипса. Когда a совпадает с b, эллипс становится окружностью и как P, так и P' совпадают с E.

Насколько хорошо P и P' приближают E, когда a отлично от b? Какое из них ближе к истине, P или P'? вопросы этого рода часто возникают во всех областях прикладной математики, и существует общепринятый способ подхода к ним, который мы в общих чертах опишем следующим образом. Разложите (P — E)/E, относительную погрешность приближения, по степеням подходящей малой величины и основывайте ваше суждение на начальном (первом отличном от нуля) члене разложения.

Посмотрим, что тол означает и как этот прием осуществляется в применении к нашему случаю. Сначала нам нужно выбрать «подходящую малую величину». Испытаем ε, эксцентриситет эллипса, определяемый формулой

 

 

a мы считаем большой, а b малой полуосью. Когда a превращается в b, а эллипс в окружность, ε обращается в нуль. Когда эллипс не очень отличается от окружности, ε мало́. Разложим поэтому относительную погрешность по степеням ε. Мы получим (опуская здесь детали)

 

 

Мы вычислили только начальный член, который в обоих случаях имеет порядок 4, содержит ε4. В обоих разложениях мы не выписали члены высшего порядка, содержащие ε5, ε6, … Когда ε очень мало (бесконечно мало), т. е. когда эллипс почти круглый, невыписанные члены по сравнению с начальными членами незначительны. Поэтому для почти круглого эллипса P ближе к истинному значению E, чем P'. (Действительно, отношение погрешностей стремится к 1 : 3, когда ε стремится к нулю.) И P и P' приближают E снизу:

 

E > P > P'.

100

Все это имеет место для очень малого ε, для почти круглых эллипсов. Мы еще не знаем, какая часть этих результатов остается справедливой, когда ε не так мало. Фактически в данный момент мы знаем только предельные соотношения, справедливые при ε → 0. Мы еще ничего определенного не знаем о погрешностях наших приближений, когда ε = 0,5 или ε = 0,1. Конечно, то, что нам нужно на практике, это именно информация о таких конкретных случаях.

Практики при таких обстоятельствах проверяют свои формулы численно. Мы можем последовать за ними, но какой случай нам нужно было бы проверить сначала? Рекомендуется не позабыть крайние случаи. Эксцентриситет ε меняется между крайними значениями 0 и 1. Когда ε = 0, b = a и эллипс превращается в окружность. Однако теперь мы знаем этот случай довольно хорошо, поэтому обратимся лучше к другому крайнему случаю. Когда ε = 1, b = 0, эллипс превращается в прямолинейный отрезок длины 2a, а длина его дуги равна 4a. Мы имеем

 

E = 4a,            P = πa, P' = 0, когда ε = 1,

 

Пожалуй, стоит отметить, что в обоих крайних случаях, как для ε = 1, так и для очень малого E > P > P'. Справедливы ли эти неравенства для любого ε?

Для второго неравенства ответ нетруден. Действительно, для a > b имеем

 

P = π(a + b) > 2π(ab)½ = P',

 

так как это эквивалентно неравенству

 

(a + b)2 > 4ab,

 

или

 

(a + b)2 > 0.

 

Сосредоточим свое внимание на остающемся вопросе. Всегда ли справедливо неравенство E > P? Естественно предположить, что то, что мы нашли верным в крайних случаях (ε мало и ε = 1), остается верным и в промежуточных случаях (для всех значений между 0 и 1). Наше предположение не подкрепляется большим числом наблюдений, но оно подкрепляется аналогией. На подобный же вопрос ( относительно P > P'), который был задан одновременно и опирался на подобные же основания, ответ был утвердительным.

Проверим какой-нибудь случай численно. Мы немного больше знаем о случае, когда ε близко к 1. выберем для ε простое значение, более близкое к 1, чем к 0: a = 5, b = 3, ε = 4/5. Для этого ε (пользуясь соответствующими таблицами) находим

 

E = 2π × 4,06275, P = 2π × 4,00000.

101

Неравенство E > P подтверждается. Это подтверждение нашего предположения идет с новой стороны, из другого источника и потому имеет некоторый вес. Отметим также, что

 

((P — E)/E = — 0, 0155,       ε4/64 = — 0, 0064.

 

Относительная погрешность приблизительно равна 1,5%. Она значительно больше, чем начальный член ее разложения, но имеет то же знак. Поскольку ε = 4/5 = 0,8, не слишком мало наше замечание годится для всей картины и ведет к увеличению нашей веры в предположение.

Приближенные формулы играют в прикладной математике важную роль. пытаясь оценить такую формулы, мы часто на практике применяем процедуру, которой следовали в этом параграфе. Мы вычисляем начальный член разложения относительной погрешности и дополняем полученную таким путем информацию численными проверками, рассмотрениями по аналогии и т. д., короче, индуктивными, недоказательными рассуждениями.

 

3. Пределы. Для того чтобы увидеть индуктивное рассуждение в действии еще и в другой области, рассмотрим следующую задачу[28].

Пусть a1, a2, …, anпроизвольная последовательность положительных чисел. Показать, что

 

 

Эта задача требует некоторых предварительных знаний, особенно знакомства с понятием «lim sup», или «верхнего предела последовательности»[29]. Однако, если даже вы полностью знакомы с этим понятием, вы можете испытать некоторые трудности в нахождении доказательства. Я приношу свои поздравления любому студенту, который сможет в несколько часов без посторонней помощи решить эту задачу.

Если вы сами хоть немного побились над этой задачей, то вы сможете с бо́льшим участием переживать борьбу, описанную в следующих параграфах.

 

4. Попытка опровергнуть. Начинаем с обычных вопросов.

В чем состоит посылка?[31] Только в том, что an > 0, ни в чем другом.

102

В чем состоит заключение? В этом неравенстве с e в правой части и сложным пределом в левой.

Известна ли вам какая-нибудь родственная теорема? Нет, пожалуй. Это очень непохоже на все, что я знаю.

Вероятно ли, что теорема верна? Или более вероятно, что она неверна? Конечно неверна. В самом деле я не могу поверить, что из такой широкой посылки, всего лишь из того, что an > 0, может быть выведено такое точное следствие.

Что вам требуется сделать? Доказать теорему. Или опровергнуть ее. Я очень стою за опровержение.

Можете ли вы проверить какой-нибудь частный случай теоремы? Да, это то, что я собираюсь сделать.

[Для того чтобы упростить формулы, положим

 

 

Пробую an = 1 для n = 1, 2¸ 3, … Тогда

В этом случае заключение теоремы подтверждается.

Однако я мог бы положить a1 = 0, an = 1 для n = 2¸ 3, 4 … Тогда

 

 

Теорема опровергнута,[32] Нет, это не так. Посылка разрешает a1 = 0,00001, но запрещает a1 = 0. Вот жалость!

Попробую что-нибудь другое. Пусть an = n. Тогда

 

Снова подтвердилось.

Пусть теперь an = n2. Тогда

 

Снова подтвердилось. И снова e2. Нельзя ли в правой части заключения вместо e поставить e2? Это усилило бы теорему.

Введу параметр. Возьму … Да, возьму a1 = c, где c я оставлю в своем распоряжении, но an = n для n = 2, 3, 4, … Тогда

 

103

e1 + c всегда > e, так как c = a1 > 0. Однако e1 + c может быть сколь угодно близким к e, потому что c может быть, произвольно мало. Я не могу опровергнуть, я не могу доказать.

Еще только одно испытание. Возьму an = nc. Тогда [мы опускаем некоторые выкладки]

 

 

Снова предел может сколь угодно близко подходить к e, но всегда остается больше e. Мне никак не удается опустить этот … предел ниже e. Пришло время изменить точку зрения.

 

5. Попытка доказать. В самом деле, основания для изменения точки зрения очень сильны. В свете накопленных индивидуальных доводов перспектива опровергнуть теорему кажется столь тусклой, что перспектива ее доказательства выглядит относительно яркой.

Поэтому ничего не остается кроме как приступить к новому исследованию теоремы, ее формулировки, ее посылки, ее заключения, связанных с нею понятий и т. д.

Можете ли вы ослабить посылку? Нет, не могу. Если я допускаю an = 0, то заключение перестает быть справедливым, теорема становится неверной (a1 = 0, a2 = a3 = a4 = = 1).

Можете ли вы усилить заключение? Я, безусловно, не могу его усилить, подставив вместо e какое-нибудь большое число, так как в этом случае заключение перестает быть справедливым, теорема становится неверной (примеры в предыдущем § 4).

Принимали ли вы в расчет все существенные понятия, связанные с задачей? Нет, не принимал. Быть может, отсюда и затруднения.

Что вы не приняли в расчет? Определение lim sup. Определение числа e.

Что такое lim sup bn? Это верхний предел последовательности bn при n → ∞.

Что такое e? Я могу определить e различными способами. Приведенные выше примеры наводят на мысль, что обычное определение e может оказаться наилучшим:

 

 

Могли бы вы иначе сформулировать теорему?..

Могли бы вы сформулировать теорему в какой-нибудь более доступной форме?..

Могли бы вы иначе сформулировать заключение? В чем состоит заключение? Заключение содержит e. Что такое e? (Я уже задавал этот вопрос раньше[33].)

104

О, да — вот заключение:

 

 

или, что то же самое,

 

 

Это выглядит значительно лучше!

Может ли заключение быть неверным, когда выполнена посылка? Да, это и есть наш вопрос. Подумаю об этом. Рассмотрю отрицание утверждения, в точности противоположное утверждение. Запишу его:

 

                            (?)

 

Я ставлю рядом с ним знак вопроса, потому что именно этот пункт подвергается сомнению. Назову его «формулой (?)». что формула (?) означает? Конечно, она означает, что существует такое N, что

 

 

 

Отсюда следует, что

 

Далее следует… Попробую что-нибудь. Да, я могу записать это очень стройно! Из (?) далее следует, что

 

 

или

Выпишу это подробнее. Отсюда следует, что

 

 

и, таким образом,

105

где C — постоянная, не зависящая от n, если только nN. Это совсем не важно, но на самом деле

 

 

Важно, однако, что n может быть произвольно велико и что гармонический ряд расходится. Поэтому отсюда следует, что

 

 

Но это решительно противоречит предположению, что an > 0 для n = 1, 2, 3, … Тем не менее это противоречие безукоризненно следует из формулы (?). поэтому, действительно, источником противоречия является формула (?); формула (?) несовместима с посылкой an > 0; противоположное утверждение к (?) должно быть верно — теорема доказана!

 

6. Роль индуктивной фазы. Поверхностно просматривая предыдущее доказательство, мы могли бы подумать, что первая, индуктивная фаза решения (§ 4) вообще не применяется во второй, доказательной фазе (§ 5). Однако это не так. Индуктивная фаза была полезна в нескольких отношениях.

Во-первых, исследуя конкретные частные случаи теоремы, мы до конца ее поняли и осознали ее полное значение. Мы убедились, что ее посылка существенна, ее заключение точно. Это знание было полезно во второй ф